Διαίρεση αριθμών

Η διαίρεση αριθμών είναι η αντίστροφη διαδικασία του πολλαπλασιασμού αριθμών. Ταυτόχρονα η διαίρεση είναι καλή πηγή χιούμορ, επειδή, όπως όλοι ξέρουν, δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, γιατί θα καεί το τετράδιό μας.

Τι είναι η διαίρεση αριθμών

Τη διαίρεση μπορούμε να τη φανταστούμε ως το μοίρασμα ενός μεγάλου συνόλου σε ίσα μικρότερα κομμάτια. Μπορεί να έχουμε έναν πατέρα που χρειάζεται να κόψει μια σανίδα μήκους 100 cm σε πέντε ίσα κομμάτια. Πόσο μεγάλο θα είναι κάθε κομμάτι;

Μπορούμε να προχωρήσουμε αντίστροφα – αν προσθέσουμε τα μήκη και των πέντε κομματιών που κόψαμε, πρέπει να βγει πάλι ο αριθμός 100. Ποιος αριθμός το ικανοποιεί; Είναι ο αριθμός 20, επειδή 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Αντί για πρόσθεση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και πολλαπλασιασμό. Μπορούμε να ρωτήσουμε ποιος αριθμός, όταν πολλαπλασιαστεί με το πέντε, δίνει εκατό; Πάλι ο αριθμός 20, επειδή 5 · 20 = 100.

Γραφικά θα μπορούσαμε να το εκφράσουμε ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος μήκους 100 σε πέντε ίσα μέρη:

Όταν θέλουμε να διαιρέσουμε τον αριθμό 100 με τον αριθμό 5, ψάχνουμε «πόσες φορές χωράει ο αριθμός πέντε στον αριθμό εκατό». Τη διαίρεση τη γράφουμε είτε με κάθετο: 100 / 5 είτε με άνω και κάτω τελεία: 100 : 5. Αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών είναι το πηλίκο. Στα παραδείγματά μας ο αριθμός 20 είναι το πηλίκο των αριθμών 100 και 5. Ο αριθμός αριστερά λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός δεξιά διαιρέτης. Τη διαίρεση μπορούμε να τη γράψουμε και με κλάσμα, αντί για 100 / 5 μπορούμε να γράψουμε $\frac{100}{5}$. Σύνοψη της ονοματολογίας:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• το a λέγεται διαιρετέος,
• το b λέγεται διαιρέτης,
• το c λέγεται πηλίκο.

Ορισμός με τον πολλαπλασιασμό

Το πηλίκο μπορούμε να το ορίσουμε πιο απλά με τον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα ας πάρουμε το πηλίκο αυτών των αριθμών: 35 / 7. Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα; Ψάχνουμε τον αριθμό που, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με 7, δίνει τον αριθμό 35. Αν διαιρούσαμε 48 / 8, θα ψάχναμε τον αριθμό που, πολλαπλασιασμένος με 8, θα έδινε τον αριθμό 48.

Αποτέλεσμα του 35 / 7 είναι λοιπόν ο αριθμός 5, επειδή 7 · 5 = 35. Αποτέλεσμα του 48 / 8 είναι ο αριθμός 6, επειδή 8 · 6 = 48.

Αν γενικά διαιρούμε a / b, τότε το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός c για τον οποίο ισχύει b · c = a.

Αν και όλα τα παραδείγματα τα δείξαμε σε φυσικούς αριθμούς, χάρη στον ορισμό με τον πολλαπλασιασμό μπορούμε να διαιρέσουμε και οποιουσδήποτε άλλους αριθμούς. Μπορούμε για παράδειγμα να βρούμε το πηλίκο −85,76 / 6,7 βρίσκοντας τον αριθμό x για τον οποίο ισχύει 6,7 · x = −85,76. Αυτό ισχύει για x = −12,8.

Το μηδέν μπορούμε να το διαιρέσουμε με άλλον αριθμό

Το μηδέν μπορούμε να το διαιρέσουμε με κάποιον αριθμό, αυτή είναι έγκυρη παράσταση: 0 / 15. Ουσιαστικά λέμε ότι θέλουμε να χωρίσουμε το μηδέν σε 15 ίσα μέρη. Μπορούμε να το φανταστούμε ως εξής: δεν έχουμε καθόλου πίτα και αυτήν την πίτα που δεν έχουμε θέλουμε να τη χωρίσουμε σε 15 μέρη – πόσο μεγάλα θα είναι τα επιμέρους κομμάτια; Θα είναι μηδενικά, επειδή απλώς δεν έχουμε καθόλου πίτα. Ή φαντάσου ότι έχεις στο πορτοφόλι σου μηδέν ευρώ και θέλεις να μοιράσεις αυτά τα μηδέν ευρώ σε τρία παιδιά. Πόσα θα πάρει κάθε παιδί; Θα πάρει μηδέν εις το πηλίκον, επειδή απλώς δεν έχεις τίποτα. Γι' αυτό 0 / 15 = 0.

Το μηδέν μπορούμε να το διαιρέσουμε με άλλον αριθμό, αλλά δεν μπορούμε να διαιρέσουμε άλλον αριθμό με το μηδέν. Αυτή η παράσταση δεν είναι έγκυρη: 8 / 0.

Γιατί όμως δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν;

Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, επειδή μας το απαγορεύει η ενδέκατη εντολή.

Υπάρχουν όμως και πιο πειστικοί λόγοι. Προς το παρόν θα ασχοληθούμε με την περίπτωση που ο διαιρετέος είναι διαφορετικός από το μηδέν – η διαίρεση έχει τη μορφή a / 0, όπου a ≠ 0. Ας απαριθμήσουμε δύο λόγους:

1. Ας μείνουμε στην αναλογία με το μοίρασμα ενός συνόλου σε μικρότερα, ίσα μέρη. Έχουμε 15 Pokémon, από τα πιο σκληρά. Τώρα θέλουμε να τα μοιράσουμε σε μηδέν παιδιά. Πόσα Pokémon θα πάρει κάθε παιδί;

Ε???

Ναι, διαβάζεις σωστά την εκφώνηση και ναι, δεν βγάζει νόημα. Δεν μπορούμε να ρωτάμε πόσα Pokémon πήρε κάθε παιδί, όταν δεν είχαμε κανένα παιδί στο οποίο να τα δώσουμε. Γι' αυτό ούτε η διαίρεση με το μηδέν βγάζει νόημα και γι' αυτό λέμε ότι η παράσταση x / 0 δεν ορίζεται.

2. Τη διαίρεση την ορίσαμε με τον πολλαπλασιασμό. Όταν προσπαθούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν 15 / 0, ψάχνουμε κάποιον αριθμό x για τον οποίο ισχύει x · 0 = 15. Μόνο που οτιδήποτε επί μηδέν είναι μηδέν, δεν θα βρούμε ποτέ x για το οποίο αυτή η εξίσωση να έχει νόημα.

Και τι γίνεται με το πηλίκο 0/0;

Ούτε αυτό ορίζεται, όπως και το x / 0. Λόγοι:

Αυτήν τη φορά έχουμε μηδέν Pokémon, από τα πιο σκληρά, που θέλουμε να τα μοιράσουμε σε μηδέν παιδιά. Αυτό είναι πάλι παράλογο αίτημα.

Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης, όταν διαιρούμε 0 / 0, ψάχνουμε αριθμό x για τον οποίο ισχύει x · 0 = 0. Λύση θα βρούμε, ή ακριβέστερα: οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός είναι λύση αυτής της εξίσωσης. Είτε αντικαταστήσουμε το x με 4, με 1 ή με π, η εξίσωση θα ισχύει. Φυσικά είναι απαράδεκτο το αποτέλεσμα της διαίρεσης να είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αυτό δεν έχει νόημα.

Θα έπρεπε από ολόκληρο το σύνολο να διαλέξουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό και να πούμε ότι ακριβώς αυτός ο αριθμός είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης 0 / 0. Μόνο που ποιος; Να είναι ίσο με ένα; Με οκτώ; Με μηδέν; Με μείον ένα; Και γιατί; Ας δοκιμάσουμε να παραθέσουμε επιχειρήματα για το μηδέν και για το ένα:

1. Ξέρουμε ότι αν έχουμε κλάσμα της μορφής x / x, τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με ένα. Για παράδειγμα 7 / 7 = 1 ή 3 / 3 = 1. Από εδώ θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι το 0 / 0 θα έπρεπε να οριστεί ώστε να ισχύει 0 / 0 = 1.
2. Ας δούμε αυτήν την ακολουθία από σίγουρα έγκυρα κλάσματα. Σε καθένα από αυτά διαιρούμε το μηδέν με αριθμό που πλησιάζει όλο και περισσότερο το μηδέν:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Βλέπουμε ότι όσο κοντά στο μηδέν κι αν είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε, παίρνουμε πάντα ως αποτέλεσμα του πηλίκου μηδέν. Από αυτό θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι 0 / 0 = 0.

Αυτά είναι και τα δύο έγκυρα επιχειρήματα για το πώς θα μπορούσαμε να ορίσουμε το πηλίκο 0 / 0. Μόνο που ποιο από τα δύο είναι καλύτερο; Εξάλλου, ακόμη κι αν διαλέγαμε το ένα και το ανακηρύσσαμε μοναδικό έγκυρο, πάλι θα καταλήγαμε σε αντίφαση με άλλα μέρη των μαθηματικών.

Γι' αυτό προτιμάμε η διαίρεση με το μηδέν να μην ορίζεται.

Το τελικό επιχείρημα κατά της διαίρεσης με το μηδέν

Αν τα προηγούμενα επιχειρήματα δεν σου έφταναν, ίσως σε πείσει η ακόλουθη φωτογραφική τεκμηρίωση μιας περίπτωσης όπου κάποιος προσπάθησε πραγματικά να διαιρέσει με το μηδέν: