Τριγωνομετρικός κύκλος

Ο τριγωνομετρικός κύκλος είναι ένας συνηθισμένος κύκλος, που δεν έχει μονάδα μέτρησης, ακριβέστερα η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με ένα. Ο τριγωνομετρικός κύκλος χρησιμεύει για μια όμορφη απεικόνιση των ορισμών των επιμέρους τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Τι είναι ο τριγωνομετρικός κύκλος

Ο τριγωνομετρικός κύκλος είναι ο κύκλος που έχει ακτίνα μήκους ένα και το κέντρο αυτού του κύκλου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, δηλαδή στο σημείο (0, 0). Κοίτα το επόμενο σχήμα:

Ο κύκλος χωρίζεται ακόμη σε τέσσερα μέρη, που τα λέμε τεταρτημόρια. Πάνω δεξιά είναι το πρώτο τεταρτημόριο, πάνω αριστερά το δεύτερο, κάτω αριστερά το τρίτο και κάτω δεξιά το τέταρτο. Επειδή αυτόν τον κύκλο θα τον χρησιμοποιούμε για την απεικόνιση γωνιών, πάνω στον κύκλο είναι επισημασμένες οι μοίρες. Εκεί όπου είναι μηδέν μοίρες, εκεί συνήθως αρχίζει η πλευρά της γωνίας και περιστρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού. Γι' αυτό το σημείο (0, 1) είναι σημειωμένο με ορθή γωνία.

Ορισμός ημιτόνου και συνημιτόνου στον κύκλο

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να απεικονίσουμε πολύ όμορφα τις επιμέρους τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Πρώτα σχεδιάζουμε στον τριγωνομετρικό κύκλο μια γωνία και μετά θα δείξουμε πού μπορούμε να διαβάσουμε στον τριγωνομετρικό κύκλο τις τιμές των επιμέρους συναρτήσεων.

Σχεδιάσαμε στον κύκλο τη γωνία ASB (με κόκκινο). Αυτή τη γωνία την ονομάσαμε άλφα. Οι πλευρές της γωνίας τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε δύο σημεία: A και B. Σημαντικό για εμάς θα είναι το σημείο B. Αν από το σημείο B φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x (στο σχήμα είναι η διακεκομμένη οριζόντια γραμμή), τότε αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα y'y σε ακριβώς ένα σημείο. Αυτό το σημείο το ονομάζουμε P_s. Ισχύει μάλιστα ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος SP_s (πράσινο τμήμα) είναι ίσο με το ημίτονο της γωνίας άλφα.

Επειδή κινούμαστε στον τριγωνομετρικό κύκλο, που έχει κέντρο στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, ισχύει ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος SP_s (πράσινο τμήμα) είναι ίσο με τη συντεταγμένη y του σημείου P_s, που είναι ίση με τη συντεταγμένη y του σημείου B.

Στον ίδιο κύκλο μπορούμε να διαβάσουμε και το συνημίτονο. Φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y'y που περνά από το σημείο B. Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα x'x σε ένα σημείο, που το ονομάζουμε P_c. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος SP_c είναι τότε ίσο με το συνημίτονο της γωνίας άλφα. Πάλι μπορούμε να πούμε ότι αυτή η τιμή είναι ίση με τη συντεταγμένη x των σημείων B και P_c.

Ορισμός εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Όπως ορίσαμε στον τριγωνομετρικό κύκλο το ημίτονο και το συνημίτονο, μπορούμε να ορίσουμε εδώ την εφαπτομένη και τη συνεφαπτομένη. Για λόγους σαφήνειας θα δείξουμε πρώτα πού βρίσκεται η εφαπτομένη στον τριγωνομετρικό κύκλο. Για αυτό θα χρειαστούμε μια ακόμη ευθεία. Θα είναι η ευθεία που είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y και περνά από το σημείο A, δηλαδή από το σημείο (1, 0). Στο επόμενο σχήμα είναι η μπλε ευθεία:

Αυτή η ευθεία τέμνει την ημιευθεία (πλευρά της γωνίας) SB σε ένα σημείο, που το ονομάζουμε P_t. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AP_t είναι τότε ίσο με την εφαπτομένη της γωνίας άλφα. Πάλι ισχύει ότι αρκεί να πάρουμε τη συντεταγμένη y του σημείου P_t και παίρνουμε επίσης την εφαπτομένη της γωνίας άλφα.

Για να απεικονίσουμε στον τριγωνομετρικό κύκλο τη συνεφαπτομένη, θα χρειαστούμε ακόμη μία ευθεία. Αυτή τη φορά πρόκειται για την ευθεία που περνά από το σημείο (0, 1) και είναι παράλληλη προς τον άξονα x'x. Και πάλι είναι τονισμένη με μπλε χρώμα:

Αυτή η ευθεία τέμνει την ημιευθεία (πλευρά της γωνίας) SB σε ένα σημείο, που το ονομάζουμε P_k. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος CP_k είναι τότε ίσο με τη συνεφαπτομένη της γωνίας άλφα. Όπως πάντα, μπορούμε να πάρουμε απλώς τη συντεταγμένη x του σημείου P_k και παίρνουμε τη συνεφαπτομένη της γωνίας.

Το ερώτημα είναι τι γίνεται, αν η γωνία άλφα είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες στην εφαπτομένη και μεγαλύτερη από 180 μοίρες στη συνεφαπτομένη, επειδή σε αυτές τις περιπτώσεις η ευθεία δεν τέμνει την πλευρά της γωνίας, βλ. το επόμενο σχήμα:

Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε την ημιευθεία SB ευθεία και αυτή η ευθεία τέμνει πια την ευθεία p.

Παρόμοια θα ενεργούσαμε και στην περίπτωση της εφαπτομένης.

Πότε δεν ορίζονται η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να προσέξουμε ένα ενδιαφέρον πράγμα. Αν η γωνία άλφα είναι ίση με 180 μοίρες, τότε η ευθεία p και η πλευρά της γωνίας δεν τέμνονται ποτέ, επειδή είναι παράλληλες. Πώς διορθώνουμε αυτό το πρόβλημα; Με κανέναν τρόπο, η συνεφαπτομένη των 180 μοιρών δεν ορίζεται. Παρόμοια δεν ορίζεται η εφαπτομένη των 90 μοιρών, επειδή μια τέτοια πλευρά θα είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y και θα είναι επομένως παράλληλη και προς την ευθεία με την οποία θα έπρεπε να τέμνεται. Το επόμενο σχήμα το δείχνει τουλάχιστον για τη συνεφαπτομένη.