Άρτια και περιττή συνάρτηση

Στις συναρτήσεις μπορούμε να προσδιορίσουμε την αρτιότητά τους, δηλαδή να καθορίσουμε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Στην οριακή περίπτωση μπορεί να είναι ταυτόχρονα και άρτια και περιττή, συνήθως όμως δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Αρτιότητα

Μια συνάρτηση είναι άρτια, αν ικανοποιεί έναν απλό κανόνα – όταν βάλεις στη συνάρτηση ένα στοιχείο x και μετά το αντίθετο στοιχείο −x, η συνάρτηση πρέπει να επιστρέψει την ίδια τιμή. Τυπική άρτια συνάρτηση είναι η συνάρτηση f(x) = x². Αν την καλέσεις με ορίσματα 6 και −6, παίρνεις: f(6) = 36 και f(−6) = 36. Το όρισμα διέφερε μόνο στο πρόσημο, οπότε το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Ο τυπικός ορισμός θα μπορούσε να είναι ο εξής. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, τότε πρέπει να ικανοποιεί

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

Για όλα τα x του πεδίου ορισμού της συνάρτησης πρέπει να ισχύει ότι, ακόμα και αν καλέσουμε τη συνάρτηση με το αντίθετο όρισμα, δηλαδή το −x, οι τιμές της συνάρτησης πρέπει να είναι ίσες.

Πώς φαίνεται μια άρτια συνάρτηση στη γραφική παράσταση; Αν βάλουμε στη συνάρτηση το x και το −x, παίρνουμε το ίδιο y. Αν το σκεφτούμε λοιπόν: το x και το −x απέχουν στον άξονα x'x το ίδιο από την αρχή και έχουν την ίδια συντεταγμένη y. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y. Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης x²:

Από τις κλασικές συναρτήσεις άρτιες είναι: το συνημίτονο και οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = x^a, όπου το a είναι άρτιος αριθμός. Μια αρχικά περιττή συνάρτηση τη μετατρέπει σε άρτια η απόλυτη τιμή, για παράδειγμα f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Περιττή συνάρτηση

Η περιττή συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί παρόμοιους κανόνες με την άρτια. Μια συνάρτηση f είναι λοιπόν περιττή, αν ικανοποιεί τον εξής κανόνα:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι αν σε μια περιττή συνάρτηση ανήκει το σημείο (a, b), τότε πρέπει να ανήκει και το σημείο με τις αντίθετες συντεταγμένες, δηλαδή το (−a, −b). Παράδειγμα περιττής συνάρτησης είναι η συνάρτηση f(x) = x³. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x το δύο, παίρνουμε:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Στη δεύτερη παράσταση θα παίρναμε

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Πώς φαίνεται αυτό στη γραφική παράσταση; Αν πρέπει να ανήκει στη συνάρτηση το σημείο (a, b) και ταυτόχρονα το (−a, −b); Αν το σχεδιάσεις, θα διαπιστώσεις ότι μια τέτοια γραφική παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, δηλαδή το σημείο (0, 0). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x³ φαίνεται στην επόμενη εικόνα.

Από τις κλασικές συναρτήσεις περιττές είναι: η f(x) = x^a, όπου το a είναι περιττό, η f(x) = ax, όπου το a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός (πρόκειται δηλαδή για γραμμική συνάρτηση χωρίς σταθερό όρο). Επιπλέον η f(x) = a/x ή το ημίτονο.

Έλεγχος αρτιότητας

Πώς ελέγχουμε αν μια συνάρτηση είναι άρτια; Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό. Ας πάρουμε για παράδειγμα τη γνωστή συνάρτηση f(x) = x². Την ελέγχουμε με τον ορισμό. Αυτός μας λέει ότι f(x) = f(−x). Αν η συνάρτηση είναι άρτια, πρέπει να ικανοποιεί:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Το μείον x στο τετράγωνο μπορούμε σύμφωνα με τους κανόνες των πράξεων με δυνάμεις να το αναπτύξουμε ως εξής:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Το μείον ένα στο τετράγωνο είναι ένα, άρα παίρνουμε πάλι μόνο x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Είναι άρτια η παρακάτω συνάρτηση;

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Αντικαθιστούμε στον ορισμό:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Αυτά τα κλάσματα μπορούμε να τα ξαναγράψουμε έτσι ώστε, αντί να έχουμε την απόλυτη τιμή σε ολόκληρο το κλάσμα, να την περάσουμε στον αριθμητή και στον παρονομαστή.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Επεξεργαζόμαστε τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος, γιατί σίγουρα ισχύει |x| = |−x|, από τον ορισμό της απόλυτης τιμής.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Τώρα πια παίρνουμε ισότητα.

Έλεγχος περιττότητας

Πώς ελέγχουμε αν μια συνάρτηση είναι περιττή; Πάλι με τον ορισμό. Αυτός λέει ότι η συνάρτηση f είναι περιττή, αν

$$f(-x)=-f(x)$$

Ξεκινάμε με τη συνάρτηση f(x) = x³. Αντικαθιστούμε στον ορισμό:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Το αριστερό μέλος μπορούμε να το αναπτύξουμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Το μείον ένα στην τρίτη είναι μείον ένα:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Έχουμε λοιπόν ισότητα:

$$-x^3=-x^3$$

Η συνάρτηση είναι περιττή.

Είναι περιττή η δοσμένη συνάρτηση;

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Αντικαθιστούμε στον ορισμό:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Δεν υπάρχουν πολλά να επεξεργαστούμε, το μείον στο πρώτο κλάσμα απλώς το βγάζουμε μπροστά από ολόκληρο το κλάσμα, οπότε παίρνουμε την ισότητα:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Η συνάρτηση είναι περιττή.

Ούτε άρτια ούτε περιττή

Μια συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Τέτοιες συναρτήσεις είναι ίσως οι περισσότερες. Παράδειγμα είναι η γραμμική συνάρτηση f(x) = x + 1. Δοκιμάζουμε να αντικαταστήσουμε στον ορισμό της αρτιότητας:

$$x+1=-x+1$$

Λύνουμε ως προς x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

η ισότητα δεν ισχύει για όλα τα x, αλλά μόνο για μερικά, άρα η συνάρτηση δεν είναι άρτια. Τώρα η περιττότητα:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Αυτή η εξίσωση μάλιστα δεν έχει ποτέ λύση, γι' αυτό η συνάρτηση δεν είναι περιττή.

Άρτια και περιττή ταυτόχρονα

Υπάρχει συνάρτηση που να είναι άρτια και περιττή ταυτόχρονα; Υπάρχει γραφική παράσταση συνάρτησης που να είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y και ταυτόχρονα ως προς την αρχή των αξόνων; Η απάντηση είναι ναι. Υπάρχει ακριβώς μία συνάρτηση που είναι άρτια και περιττή ταυτόχρονα και είναι η σταθερή συνάρτηση f(x) = 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ακολουθεί ακριβώς τον άξονα x'x.

Σημείωση: στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειρες τέτοιες συναρτήσεις, γιατί μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση g(x), που θα έχει τον ίδιο τύπο, αλλά θα ορίζεται σε διαφορετικό πεδίο ορισμού. Για παράδειγμα, μπορούμε να έχουμε τη συνάρτηση g(x) = 0, που θα έχει πεδίο ορισμού μόνο τους φυσικούς αριθμούς. Αυτή η συνάρτηση διαφέρει από τη συνάρτηση f(x), που ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς. Ωστόσο ο τύπος θα είναι πάντα ο ίδιος.

Σύνθετες συναρτήσεις

Ενδιαφέρουσα κατάσταση προκύπτει όταν έχουμε δύο συναρτήσεις που είναι περιττές ή άρτιες και προσπαθούμε να τις προσθέσουμε, να τις πολλαπλασιάσουμε κτλ. Για παράδειγμα, το άθροισμα δύο άρτιων συναρτήσεων βγαίνει πάλι άρτια συνάρτηση. Οι κανόνες και οι συνδυασμοί είναι πολλοί.