Τι είναι η συνάρτηση

Η συνάρτηση είναι θεμελιώδης έννοια στα μαθηματικά και πρέπει να την κατανοήσεις πλήρως. Τα μαθηματικά είναι διαποτισμένα από συναρτήσεις και κάθε σύμβολο που γνωρίζεις από το δημοτικό στην πραγματικότητα παριστάνει μια συνάρτηση.

Αναλογία της συνάρτησης

Έχεις δει ποτέ αυτόματο πωλητή καφέ; Τι είναι χαρακτηριστικό για ένα τέτοιο μηχάνημα; Ότι βάζεις μέσα κάποια κέρματα και το μηχάνημα σου βγάζει κάποιον καφέ. Αν βάλεις περισσότερα κέρματα, το μηχάνημα απαντά με καλύτερο καφέ.

Η συνάρτηση είναι ένας τέτοιος μαθηματικός αυτόματος πωλητής καφέ. Βάζεις στη συνάρτηση κάποια είσοδο (κέρματα) και η συνάρτηση επιστρέφει κάποια έξοδο (καφέ). Αυτή είναι όλη η βασική αρχή της συνάρτησης.

Έργο της συνάρτησης είναι να παραλάβει μια είσοδο, έναν αριθμό, να κάνει κάτι με αυτόν τον αριθμό στο εσωτερικό της, να τον αλλάξει και στη συνέχεια να επιστρέψει τον νέο αριθμό ως έξοδο.

Βασικές έννοιες

Κάθε συνάρτηση έχει ένα όνομα, που τη χαρακτηρίζει. Το πιο συνηθισμένο όνομα για μια συνάρτηση είναι το γράμμα «f». Για τη συνάρτηση χρειαζόμαστε έναν τύπο, που θα καθορίζει πώς δουλεύει η συνάρτηση – πώς θα φτιάξει το μηχάνημα τον καφέ. Για αρχή μπορούμε να φανταστούμε τη συνάρτηση ως πίνακα με δύο στήλες. Στην πρώτη στήλη θα είναι η είσοδος (στο μηχάνημα θα ήταν η αξία των κερμάτων) και στη δεύτερη η έξοδος της συνάρτησης (ο καφές).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{είσοδος}& \text{έξοδος}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Βλέπουμε ότι η έξοδος είναι πάντα διπλάσια από την είσοδο, αλλά δεν είναι καθόλου υποχρεωτικό. Μπορούμε να έχουμε και τέτοιον πίνακα:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{είσοδος}& \text{έξοδος}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Πάντως για αρχή μας αρκεί ο πρώτος, κανονικός πίνακας. Μπορούμε να πούμε ότι αυτός ο πίνακας ορίζει τη συνάρτηση f. Τι κάνει η συνάρτηση; Εμείς βάζουμε στη συνάρτηση μια είσοδο, η συνάρτηση βρίσκει αυτή την είσοδο στην πρώτη στήλη του πίνακα και επιστρέφει την έξοδο που βρίσκεται στην ίδια γραμμή. Αν ψάχνουμε την έξοδο της συνάρτησης για τον αριθμό τρία, θα το γράφαμε έτσι:

$$f(3)=6$$

Βρήκαμε τη γραμμή όπου η είσοδος είναι ίση με τρία και στην ίδια γραμμή η έξοδος ήταν ίση με έξι. Επιπλέον θα ίσχυε f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 και f(5) = 10. Το να γράφουμε όλες τις συναρτήσεις με πίνακες ίσως φαίνεται ευανάγνωστο για λίγους αριθμούς, αλλά όταν δουλεύουμε με περισσότερους αριθμούς είναι εντελώς μη πρακτικό. Γι' αυτό χρειαζόμαστε άλλη μορφή γραφής. Μπορούμε να τη δώσουμε με έναν τύπο συνάρτησης. Στον πίνακά μας ίσχυε ότι η έξοδος είναι διπλάσια από την είσοδο. Αυτό θα το γράφαμε με τύπο συνάρτησης έτσι:

$$f(x)=2\cdot x$$

Αυτή είναι μια απλή γραμμική συνάρτηση, αλλά προς το παρόν δεν έχει σημασία. Τι μας λέει αυτή η παράσταση; Το γράμμα f είναι το όνομα της συνάρτησης, αυτό το ξέρουμε ήδη. Η παράσταση στην παρένθεση, δηλαδή το γράμμα x, είναι η παράμετρος της συνάρτησης. Στην αναλογία με το μηχάνημα θα αντιστοιχούσε στην έννοια «αξία των κερμάτων που ρίξαμε». Η παράμετρος της συνάρτησης είναι μια μεταβλητή, στην οποία αποθηκεύεται η τιμή που της δίνουμε. Αν ρίχναμε στο μηχάνημα (στη συνάρτηση) είκοσι λεπτά, μέσα στη συνάρτηση θα ίσχυε x = 20. Και από εκεί και πέρα το μηχάνημα ή η συνάρτηση θα δουλέψει με αυτή την τιμή με τον δικό της τρόπο.

Μετά βρίσκεται το σύμβολο της ισότητας και μετά από αυτό ο ίδιος ο τύπος, που μας προσδιορίζει τι πρέπει να γίνει με την τιμή x. Βλέπουμε ότι η συνάρτηση πολλαπλασιάζει την τιμή x που της δόθηκε με το δύο. Αυτό είναι όλο.

Περισσότερα παραδείγματα συναρτήσεων

Σε αυτό το δεξί μέλος μπορεί να υπάρχει σχεδόν οποιαδήποτε μαθηματική παράσταση. Μπορεί να υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις, μπορεί να υπάρχουν συνθήκες που κάνουν τον ορισμό πιο ακριβή. Θα μπορούσαμε να ορίσουμε με λόγια μια συνάρτηση για παράδειγμα έτσι: «αν η είσοδος είναι άρτιος αριθμός, επίστρεψε μηδέν, αν η είσοδος είναι περιττός αριθμός, επίστρεψε ένα». Αυτή θα είναι μια συνάρτηση που θα επιστρέφει μόνο ένα και μηδέν, αλλά συνάρτηση θα είναι.

Το σημαντικό είναι να καταλάβεις ότι μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί σχεδόν με οποιονδήποτε τρόπο. Βέβαια και η συνάρτηση έχει τους κανόνες της, αλλά αυτοί τώρα δεν είναι τόσο σημαντικοί – ένας από τους κανόνες μάλιστα αναφέρεται αμέσως στο επόμενο κεφάλαιο. Ο ορισμός της συνάρτησης δεν χρειάζεται με την πρώτη ματιά να έχει κάποιο νόημα, δεν χρειάζεται να έχει κάποια τάξη. Η συνάρτηση μπορεί κάλλιστα να επιστρέφει πάντα το διπλάσιο της τιμής, εκτός από την περίπτωση που η είσοδος είναι το επτά. Τότε επιστρέφει το εννέα. Είναι μάλλον αρκετά ανόητο, αλλά και αυτό είναι συνάρτηση.

Συνάρτηση μπορούμε να ονομάσουμε και ένα μεγάλο μέρος των πράξεων που κάνουμε εκτός μαθηματικών. Για παράδειγμα, αν μετρήσεις το μήκος της λέξης «άλογο», μπορούμε να πούμε ότι κάλεσες μια συνάρτηση με όνομα «μήκος λέξης» και της έδωσες ως όρισμα τη λέξη «άλογο». Η συνάρτηση μέτρησε τα γράμματα της λέξης και επέστρεψε στην έξοδο τον αριθμό πέντε.

Χρειάζεται να υπολογίσεις τι ανατοκισμό θα πληρώνεις για ένα δάνειο ή για ένα στεγαστικό δάνειο; Και αυτό μπορεί να το κάνει μια συνάρτηση. Απλώς ορίζεις μια συνάρτηση που υπολογίζει το μέγεθος του τόκου για παράδειγμα μετά από δέκα χρόνια. Χρειάζεται να βρεις πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει ακόμη το αυτοκίνητο με ορισμένο αριθμό λίτρων βενζίνης; Όρισε μια συνάρτηση! Αν το αυτοκίνητο διανύει κατά μέσο όρο με ένα λίτρο βενζίνης για παράδειγμα 11 χιλιόμετρα, τότε τη συνάρτηση που υπολογίζει πόσα χιλιόμετρα θα διανύσουμε ακόμη μπορούμε να την ορίσουμε έτσι:

$$\text{διανύουμε}(x)=11\cdot x$$

Αν μας απομένουν μόνο 17 λίτρα βενζίνης, υπολογίζουμε την απόσταση καλώντας τη συνάρτηση έτσι:

$$\text{διανύουμε}(17)=11\cdot 17=187$$

Συνάρτηση είναι απλώς οτιδήποτε μας επιστρέφει κάποιον αριθμό για κάποια είσοδο. Επίστρεψε την απόσταση σε ευθεία γραμμή από τα Τρίκαλα σε μια δοσμένη πόλη, επίστρεψε τη διάρκεια του μεγαλύτερου τραγουδιού σε ένα δοσμένο άλμπουμ, επίστρεψε τον αριθμό των μαλλιών στο κεφάλι ενός δοσμένου ανθρώπου, επίστρεψε τον αριθμό των ποδιών ενός δοσμένου ζώου κ.λπ.

Βασική ιδιότητα της συνάρτησης

Μια εξαιρετικά σημαντική προϋπόθεση για τη συνάρτηση είναι, αν επιστρέψουμε στον πίνακα, να μην επαναλαμβάνεται καμία τιμή δύο φορές στην πρώτη στήλη με την είσοδο. Αν ο πίνακας έμοιαζε έτσι:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{είσοδος}& \text{έξοδος}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… τότε δεν θα μπορούσαμε να πούμε τι πρέπει να επιστρέψει η συνάρτηση, αν βάλουμε μέσα το ένα:

$$f(1)=?$$

Η συνάρτηση πρέπει να είναι σαφώς ορισμένη, δεν μπορεί να συμβεί να επιστρέφει για την ίδια είσοδο δύο διαφορετικά αποτελέσματα. Αυτό απλώς δεν γίνεται. Απαιτούμε από τη συνάρτηση να επιστρέφει πάντα την ίδια έξοδο για την ίδια είσοδο. Πρόσεξε ότι αυτή η απαίτηση δεν αφορά τη δεύτερη στήλη, την έξοδο. Οι έξοδοι μπορούν κάλλιστα να είναι ίδιες, αυτό δεν μας πειράζει. Αυτός ο πίνακας θα ήταν έγκυρος:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{είσοδος}& \text{έξοδος}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Υπολογισμός της συνάρτησης

Ξέρουμε ήδη πώς ονομάζεται κάθε μέρος της συνάρτησης και πώς περίπου ορίζουμε μια συνάρτηση. Τώρα θα εξηγήσουμε βήμα βήμα πώς γίνεται ο υπολογισμός της συνάρτησης. Έχουμε λοιπόν τη συνάρτηση f(x) = 2x. Τι θα συμβεί, αν βάλουμε στη συνάρτηση το τρία; Αν θέλουμε να βάλουμε στη συνάρτηση το τρία, σημαίνει ότι πρέπει να αντικαταστήσουμε την παράμετρο της συνάρτησης με τον αριθμό τρία. Όρισμα της συνάρτησης είναι το τρία, οπότε αντικαθιστούμε σε όλα τα x το τρία:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Ήδη βλέπουμε ότι η συνάρτηση βγάζει το έξι, όπως πριν λίγο ο πίνακας. Εκείνος όμως περιοριζόταν μόνο σε πέντε αριθμούς, ενώ ο νέος μας ορισμός μπορεί να χωρέσει και άλλους αριθμούς:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Αυτή τη διαδικασία, όπου αντικαθιστούμε στη μεταβλητή x συγκεκριμένες τιμές, την ονομάζουμε υπολογισμό της συνάρτησης ή κλήση της συνάρτησης, ή εφαρμογή της συνάρτησης. Αν λοιπόν πούμε ότι «καλούμε τη συνάρτηση f με όρισμα 5», θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή f(5), που στην περίπτωσή μας θα είναι f(5) = 2 · 5 = 10.

Άλλες δύο έννοιες που πρέπει να θυμάσαι. Αυτό με το οποίο καλούμε τη συνάρτηση (αυτό που αντικαθιστούμε στο x) ονομάζεται όρισμα της συνάρτησης. Μπορεί να φαίνεται λίγο μπερδεμένο, αλλά αν έχουμε τη συνάρτηση f(x) και την καλέσουμε με την τιμή τρία f(3), τότε το x είναι η παράμετρος της συνάρτησης και το 3 είναι το όρισμα της συνάρτησης. Το όρισμα είναι η ίδια η τιμή με την οποία καλούμε τη συνάρτηση. Η παράμετρος είναι η αρχική μεταβλητή, με την οποία ορίστηκε η συνάρτηση. Είναι μάλλον τεχνική λεπτομέρεια.

Μια άλλη έννοια είναι η τιμή της συνάρτησης, δηλαδή η τιμή που επιστρέφει η συνάρτηση στην έξοδο. Η προηγούμενη συνάρτηση επέστρεψε, όταν κλήθηκε με τον αριθμό τρία, τον αριθμό έξι. Ο αριθμός έξι είναι λοιπόν στην περίπτωση αυτή η τιμή της συνάρτησης. Με μια ολόκληρη πρόταση θα λέγαμε «η συνάρτηση f έχει στο σημείο τρία τιμή έξι». Με τον όρο «σημείο» εννοούμε σε αυτό το πλαίσιο συνήθως το όρισμα της συνάρτησης.

Συναρτήσεις στα καθημερινά μαθηματικά

Στα καθημερινά μαθηματικά εμφανίζεται πλήθος συναρτήσεων που έχουν πολύ ιδιαίτερο τρόπο γραφής, ώστε δεν φαίνεται καν ότι πρόκειται για συναρτήσεις. Για παράδειγμα η απόλυτη τιμή δεν είναι τίποτε άλλο από συνάρτηση. Στην είσοδο παίρνει έναν αριθμό και στην έξοδο επιστρέφει είτε τον ίδιο αριθμό είτε τον αριθμό με αντίθετο πρόσημο.

Σίγουρα αναγνωρίζεις το σύμβολο της ρίζας: $\sqrt{}$. Αυτό είναι πάλι συνάρτηση. Στην είσοδο παίρνει κάποιο όρισμα και στην έξοδο επιστρέφει την τετραγωνική ρίζα. Παρομοίως και η δεύτερη δύναμη x² είναι συνάρτηση. Στην είσοδο παίρνει έναν αριθμό και στην έξοδο επιστρέφει το τετράγωνο αυτού του αριθμού.

Είναι αρκετά σημαντικό να συνειδητοποιήσεις ότι τα περισσότερα παρόμοια μαγικά σύμβολα δεν είναι στην πραγματικότητα τίποτε πιο περίπλοκο από μια συνηθισμένη συνάρτηση. Μην κοιτάς το σύμβολο $\sqrt{}$ ως ένα παράξενο στραβό σχήμα, κοίτα το σύμβολο ως συνάρτηση.

Επειδή ιδίως για τον αρχάριο μπορεί να μπερδεύει μια παράσταση που περιέχει πλήθος μαθηματικών συμβόλων, από τα οποία ο καημένος ο αρχάριος δεν καταλαβαίνει τα μισά, ενώ στην πραγματικότητα πρόκειται απλώς για μερικές σύνθετες συναρτήσεις. Πάρε για βοήθεια αυτό το παράδειγμα:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Όταν το κοιτάξει ένας μη μαθηματικός, θα ξύσει το κεφάλι του και δεν θα έχει ιδέα τι να κάνει με αυτό. Κι όμως, σε αυτή την παράσταση περιέχονται συνολικά τέσσερις αρκετά απλές συναρτήσεις, που εφαρμόζονται διαδοχικά στη μεταβλητή x. Θα μπορούσε να γραφτεί με ονομασμένες και εμφωλευμένες συναρτήσεις έτσι:

$$\text{παραγοντικό}(\text{ρίζα}(\text{απόλυτη}(\text{τετράγωνο}(x))))$$

Η γραφή είναι μακρύτερη, αλλά για κάποιον που δεν τα πάει καλά με τα σύμβολα είναι μάλλον πιο ευανάγνωστη. Ταυτόχρονα είναι και απολύτως σαφής η σειρά με την οποία θα καλούνται διαδοχικά οι συναρτήσεις.

Σύνοψη της γραφής της συνάρτησης

Η συνάρτηση έχει ένα όνομα, που μπορεί να είναι ουσιαστικά οτιδήποτε. Συνήθως μια γενική συνάρτηση ονομάζεται f. Κάθε συνάρτηση έχει ορισμένο αριθμό παραμέτρων, που τις γράφουμε σε παρένθεση μετά το όνομα. Αν η συνάρτησή μας f είχε δύο παραμέτρους, θα το γράφαμε έτσι: f(x, y) ή f(a, b). Το πώς ονομάζονται οι παράμετροι γενικά δεν έχει σημασία.

Μερικές συχνά χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις έχουν το δικό τους σύμβολο, για παράδειγμα η ρίζα έχει το σύμβολο $\sqrt{}$. Επίσης ημ ή ημ(x) είναι η συνάρτηση ημίτονο, |x| είναι η συνάρτηση απόλυτη τιμή και x! είναι η συνάρτηση παραγοντικό.

Αν η συνάρτηση έχει μία παράμετρο, μερικές φορές παραλείπουμε τις παρενθέσεις, κάτι που άλλοτε κάνει τη γραφή πιο ευανάγνωστη και άλλοτε όχι. Έτσι τα ημ(x) και ημ x είναι έγκυρες γραφές της συνάρτησης ημίτονο.

Όταν μιλάμε για την παράμετρο της συνάρτησης, μιλάμε για το γράμμα x στη γραφή f(x). Όρισμα είναι η τιμή με την οποία καλούμε τη συνάρτηση, που την αντικαθιστούμε στο x. Συχνά αυτές οι δύο έννοιες συγχέονται. Τιμή της συνάρτησης είναι η τιμή που παίρνουμε μετά την κλήση της συνάρτησης. Τη γράφουμε απλά ως όνομα της συνάρτησης, παρένθεση και όρισμα. Αν έχουμε τη συνάρτηση f(x) = 2x και στην παράμετρο x αντικαταστήσουμε το όρισμα x = 4, τότε λέμε ότι καλέσαμε τη συνάρτηση με όρισμα x = 4 και η τιμή f(4) που προκύπτει είναι ίση με οκτώ.