Πεδίο ορισμού συνάρτησης

Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι όλες οι επιτρεπτές τιμές που μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση f(x) στη θέση του ορίσματος x, ώστε η συνάρτηση να έχει νόημα.

Τι είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης

Ένα απλό παράδειγμα είναι η συνάρτηση f(x) = 1/x. Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών τιμών που, όταν τις αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση 1/x, μας δίνουν έγκυρη παράσταση.

Για να ξέρουμε τι είναι «έγκυρη παράσταση», πρέπει να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των συναρτήσεων και των πράξεων. Στη συνάρτησή μας διαιρούμε με τη μεταβλητή x, δηλαδή η μεταβλητή x βρίσκεται στον παρονομαστή του κλάσματος. Με ποιες τιμές μπορούμε να διαιρέσουμε; Με όλες, εκτός από το μηδέν. Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, και γι' αυτό το μηδέν δεν επιτρέπεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Η διαίρεση δεν έχει άλλον περιορισμό.

Επομένως στη θέση του x μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό εκτός από το μηδέν. Το πεδίο ορισμού είναι λοιπόν ίσο με: D_f = ℝ ∖ {0}. Το πεδίο ορισμού το συμβολίζουμε συνήθως με το γράμμα D και στον δείκτη γράφουμε τη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού υπολογίζουμε.

Μέχρι στιγμής υπολογίσαμε το μέγιστο πεδίο ορισμού. Επειδή όμως ορίσαμε το πεδίο ορισμού ως το σύνολο των τιμών που μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x, ισχύει ότι και κάθε υποσύνολο του πεδίου ορισμού είναι πάλι πεδίο ορισμού. Ορισμένες φορές μας βολεύει να περιορίσουμε τη συνάρτηση μόνο σε κάποια x. Για παράδειγμα, στις ακολουθίες περιοριζόμαστε μόνο στους φυσικούς αριθμούς, ενώ στην τριγωνομετρία συχνά δουλεύουμε μόνο με το διάστημα [0, 2π].

Ωστόσο, αν σου δοθεί άσκηση στην οποία ζητείται να υπολογίσεις το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, συνήθως εννοείται ότι πρέπει να υπολογίσεις το μέγιστο δυνατό πεδίο ορισμού.

Το πεδίο ορισμού μπορούμε να το διαβάσουμε και από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για παράδειγμα, παίρνουμε τη γραφική παράσταση της προηγούμενης συνάρτησης f(x) = 1/x.

Αν προβάλεις τη γραφική παράσταση στον άξονα x'x, παίρνεις το πεδίο ορισμού. Αν το σημείο x δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε η κάθετη ευθεία στον άξονα x'x που διέρχεται από αυτό το σημείο δεν τέμνει τη γραφική παράσταση σε κανένα σημείο. Βλέπουμε ότι αυτή την προϋπόθεση την πληροί μόνο το μηδέν – πάνω ή κάτω από αυτό δεν υπάρχει κανένα σημείο της γραφικής παράστασης. Όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί έχουν.

Υπολογισμός του πεδίου ορισμού

Για να υπολογίσεις το πεδίο ορισμού μιας σύνθετης συνάρτησης, πρέπει να γνωρίζεις τα πεδία ορισμού όλων των συναρτήσεων από τις οποίες αποτελείται. Αλλιώς δεν γίνεται. Αν σου ζητούσα να υπολογίσεις το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = ένα(x) + δύο(x), δεν θα τα κατάφερνες, γιατί δεν ξέρεις πώς ορίζονται οι συναρτήσεις ένα και δύο. Ας δούμε τα πεδία ορισμού ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων:

• Ο λογάριθμος έχει D_f = (0, +∞).
• Η ρίζα έχει D_f = [0, +∞).
• Η εφαπτομένη έχει D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Η συνεφαπτομένη έχει D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Η εκθετική συνάρτηση έχει D_f = ℝ.
• Η γραμμική συνάρτηση και η τετραγωνική συνάρτηση έχουν D_f = ℝ.

Αν δίνεται μόνο μία συνάρτηση, το πράγμα είναι πολύ απλό. Απλώς βρίσκουμε ποιο πεδίο ορισμού έχει η συνάρτηση, κοιτάμε το όρισμα και μετά το αντικαθιστούμε κατάλληλα στην (αν)ίσωση. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα – προσδιόρισε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης log(3x + 2). Το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικό, άρα πρέπει να ισχύει 3x + 2 > 0. Αυτή είναι μια γραμμική ανίσωση, την οποία λύνουμε εύκολα:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Πεδίο ορισμού είναι όλα τα x που ικανοποιούν αυτή την ανίσωση, άρα D_f = (−2/3, +∞).

Υπολόγισε το πεδίο ορισμού της $\sqrt{2x+8}$.

Κάτω από τη ρίζα δεν επιτρέπεται αρνητικός αριθμός, οπότε λύνουμε την ανίσωση 2x + 8 ≥ 0 και παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Άρα D_f = [−4, +∞).

Υπολόγισε το πεδίο ορισμού της 1/x².

Στον παρονομαστή δεν επιτρέπεται το μηδέν, οπότε λύνουμε την εξίσωση x² ≠ 0. Αυτό ισχύει όταν x ≠ 0, άρα D_f = ℝ ∖ {0}.

Ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων

Στις σύνθετες συναρτήσεις η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη, επειδή πρέπει να λάβουμε υπόψη περισσότερες συναρτήσεις, που επηρεάζουν η μία την άλλη και σταδιακά μικραίνουν το πεδίο ορισμού. Πάρε για παράδειγμα το εξής:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Εδώ πρέπει να ισχύουν δύο συνθήκες. Η παράσταση κάτω από τη ρίζα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, δεν επιτρέπεται να είναι αρνητική. Άρα x ≥ 0. Όμως η ρίζα βρίσκεται στον παρονομαστή του κλάσματος, οπότε πρέπει να ισχύει και ότι η ρίζα δεν μπορεί να βγει μηδέν, γιατί τότε το κλάσμα πάλι δεν θα είχε νόημα. Έτσι την προηγούμενη πρόταση την ενισχύουμε σε x > 0.

Παρόμοια θα προχωρήσουμε και στα υπόλοιπα παραδείγματα. Σημαντικό είναι όμως να προσδιορίσουμε τη σειρά των εμφωλευμένων συναρτήσεων – πρέπει να βρούμε ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική. Στο προηγούμενο παράδειγμα αυτό ήταν προφανές – εσωτερική συνάρτηση ήταν η ρίζα και εξωτερική το κλάσμα. Αν θέλαμε να υπολογίσουμε την παράσταση με το χέρι, πρώτα θα παίρναμε τη ρίζα του ορίσματος x και μόνο μετά θα υπολογίζαμε το κλάσμα. Αυτό είναι ένα αρκετά καλό κριτήριο – η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι αυτή με την οποία θα ξεκινούσες τον υπολογισμό, αν τον έκανες με το χέρι. Ένα ακόμα παράδειγμα:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(x)){)}^3}$$

Τώρα μπορούμε να ακολουθήσουμε την αντίθετη προσέγγιση. Θα ψάξουμε τις εξωτερικές συναρτήσεις. Η εξωτερική συνάρτηση «περιβάλλει» τις εσωτερικές. Εδώ είναι προφανές ότι η πέμπτη ρίζα περιβάλλει όλες τις υπόλοιπες συναρτήσεις. Έπειτα η τρίτη δύναμη περιβάλλει το αποτέλεσμα του λογαρίθμου, ο λογάριθμος περιβάλλει την εφαπτομένη και τέλος η εφαπτομένη περιβάλλει τη μεταβλητή x. Απλό. Με την προηγούμενη μέθοδο μπορούμε να το δούμε ως εξής: όταν γνωρίζουμε την τιμή του x, την εφαρμόζουμε πρώτα στην εφαπτομένη. Είναι λοιπόν η πιο εσωτερική συνάρτηση. Αυτό το αποτέλεσμα το εφαρμόζουμε στον λογάριθμο – είναι δηλαδή η δεύτερη πιο εσωτερική συνάρτηση. Αυτό το αποτέλεσμα το εφαρμόζουμε πάλι στη δύναμη και στο τέλος παίρνουμε την πέμπτη ρίζα.

Ανάλυσε τη σύνθετη συνάρτηση:

$$f(x)=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Ξεκινάμε από την εξωτερική συνάρτηση. Αυτή είναι το ημίτονο. Ακολουθεί το κλάσμα, μετά ο λογάριθμος, μετά η εκθετική συνάρτηση (φαντάσου την αντικατάσταση 10^a) και τέλος η γραμμική συνάρτηση 2x + 3.

Ανάλυσε τη σύνθετη συνάρτηση:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση 2^a. Ακολουθεί το κλάσμα, μετά στον παρονομαστή του κλάσματος η ρίζα και τέλος η γραμμική συνάρτηση 3x.

Πεδίο ορισμού σύνθετων συναρτήσεων

Αν ξέρεις να αναλύεις τις συναρτήσεις σε εξωτερικές και εσωτερικές, δεν μπορεί πια να σου δημιουργηθεί πρόβλημα στον προσδιορισμό του πεδίου ορισμού. Θα το δούμε κατευθείαν σε ένα παράδειγμα:

$$f(x)=\frac{47}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)-1}$$

Ξεκινάμε από το κλάσμα. Σε αυτό πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Το γράφουμε:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)-1& \ne & 0\\ \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)& \ne & +1\end{array}$$

Από τις ιδιότητες της συνάρτησης ημίτονο ξέρουμε ότι την τιμή 1 την παίρνει στο σημείο x = π/2. Επειδή είναι περιοδική συνάρτηση, παίρνουμε το σύνολο M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Αυτό είναι το σύνολο των τιμών για τις οποίες ο παρονομαστής βγαίνει ίσος με μηδέν. Αυτά τα x δεν μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε στη συνάρτησή μας.

Αυτό όμως δεν είναι όλο, πρέπει ακόμα να δούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ημίτονο. Ευτυχώς αυτό είναι ίσο με ℝ, οπότε δεν μας περιορίζει καθόλου. Ο περιορισμός προκύπτει μόνο από τον παρονομαστή του κλάσματος. Άρα D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.