Dominio de una función

El dominio de una función son todos los valores admisibles que podemos sustituir en lugar del argumento x en la función f(x) de modo que la función tenga sentido.

Qué es el dominio de una función

Un ejemplo sencillo puede ser la función f(x) = 1/x. El dominio es el conjunto de todos los valores admisibles que, al sustituirlos en la función 1/x, dan una expresión válida.

Para saber qué es una «expresión válida», tenemos que conocer las propiedades de las funciones y de las operaciones. En nuestra función dividimos entre la variable x, es decir, la variable x está en el denominador de la fracción. ¿Entre qué valores podemos dividir? Entre todos, excepto el cero. No sabemos dividir entre cero, y por eso el cero no puede estar en el denominador de una fracción. La división no tiene ninguna otra restricción.

Por tanto, en lugar de x podemos sustituir cualquier número real salvo el cero. El dominio es entonces igual a Dom f = ℝ ∖ {0}. El dominio se suele escribir con las letras Dom y, a continuación, la función cuyo dominio calculamos.

Con esto hemos calculado el mayor dominio posible. Pero como hemos definido el dominio como el conjunto de valores que podemos sustituir por x, también cualquier subconjunto del dominio vuelve a ser un dominio. A veces nos puede venir bien limitar la función solo a algunos x. Por ejemplo, en las sucesiones nos limitamos solo a los números naturales, y en la trigonometría a menudo se trabaja solo con el intervalo [0, 2π].

No obstante, si tenemos un ejercicio en el que hay que calcular el dominio de una función, normalmente se supone que debes calcular el mayor dominio posible.

El dominio también se puede leer en la gráfica de la función. Como ejemplo, tomemos la gráfica de la función anterior, f(x) = 1/x.

Si proyectas la gráfica sobre el eje x, obtienes el dominio. Si el punto x no pertenece al dominio, al trazar por ese punto una perpendicular al eje x, esa recta no corta ningún punto de la gráfica. Vemos que esta condición solo la cumple el cero: no tiene «encima ni debajo» ningún punto de la gráfica de la función. Todos los demás sí lo tienen.

Cálculo del dominio

Para calcular el dominio de una función compuesta, tienes que conocer los dominios de todas las funciones que la forman. De otro modo no se puede. Si te pidiera calcular el dominio de la función f(x) = uno(x) + dos(x), no llegarías a ninguna parte, porque no sabes cómo están definidas las funciones uno y dos. Veamos los dominios de algunas funciones elementales:

• El logaritmo tiene Dom f = (0, +∞).
• La raíz cuadrada tiene Dom f = [0, +∞).
• La tangente tiene Dom f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• La cotangente tiene Dom f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• La función exponencial tiene Dom f = ℝ.
• La función lineal y la función cuadrática tienen Dom f = ℝ.

Si tienes dada una sola función, es muy sencillo. Simplemente averiguamos qué dominio tiene esa función, miramos el argumento y luego lo sustituimos adecuadamente en la (in)ecuación. Veamos un ejemplo: determina el dominio de la función log(3x + 2). El argumento del logaritmo tiene que ser positivo, por lo que debe cumplirse 3x + 2 > 0. Es una inecuación de primer grado, que resolvemos sin dificultad:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

El dominio lo forman todos los x que cumplen esta inecuación, así que Dom f = (−2/3, +∞).

Calcula el dominio de $\sqrt{2x+8}$.

Bajo la raíz no puede haber un número negativo, así que resolvemos la inecuación 2x + 8 ≥ 0, con lo que obtenemos el resultado:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Por tanto, Dom f = [−4, +∞).

Calcula el dominio de 1/x².

En el denominador no puede haber un cero, así que resolvemos la ecuación x² ≠ 0. Esto se cumple cuando x ≠ 0, por lo que Dom f = ℝ ∖ {0}.

Descomposición de funciones compuestas

En las funciones compuestas la situación es algo más complicada, porque tenemos que tener en cuenta varias funciones que se influyen entre sí y van reduciendo poco a poco su dominio. Tomemos, por ejemplo, este caso:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Aquí deben cumplirse dos condiciones. La expresión bajo la raíz debe ser mayor o igual que cero, no puede ser negativa. Por tanto, x ≥ 0. Pero la raíz se encuentra en el denominador de la fracción, así que la raíz no puede salir cero, porque entonces la fracción tampoco tendría sentido. Por eso reforzamos la afirmación anterior a x > 0.

De manera parecida procederemos en los demás ejemplos. Lo importante es determinar el orden de las funciones anidadas: tenemos que averiguar cuál es la función interna y cuál la externa. En el ejemplo anterior era evidente: la función interna era la raíz y la externa, la fracción. Si quisiéramos calcular esa expresión a mano, primero extraeríamos la raíz del argumento x y solo después calcularíamos la fracción. Es una buena regla: la función más interna es aquella con la que empezarías a calcular si lo hicieras a mano. Otro ejemplo:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\tan (x)){)}^3}$$

Ahora podemos elegir el enfoque contrario. Buscaremos las funciones externas. La función externa «envuelve» a las funciones internas. Aquí está clarísimo que la raíz quinta envuelve a todas las demás. Después, la tercera potencia envuelve el resultado del logaritmo, el logaritmo envuelve la tangente y, por último, la tangente envuelve la variable x. Sencillo. Con el método anterior lo haríamos así: cuando conocemos el valor de x, lo primero que hacemos es aplicarlo a la tangente. Es, por tanto, la función más interna. Ese resultado lo aplicamos al logaritmo, que es la segunda función más interna. Ese resultado lo aplicamos a la potencia y, al final, extraemos la raíz.

Descompón la función compuesta:

$$f(x)=\mathrm{sen}\frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Empezamos por la función externa. Es el seno. Después, por orden, viene la fracción, luego el logaritmo, luego la función exponencial (imagina esta sustitución: 10^a) y, por último, la función lineal 2x + 3.

Descompón la función compuesta:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

La función externa es la función exponencial 2^a. Después viene la fracción y, en el denominador de la fracción, la raíz y, por último, la función lineal 3x.

Dominio de las funciones compuestas

Si sabes descomponer funciones en externas e internas, ya no puede resultarte difícil determinar el dominio. Lo veremos directamente con un ejemplo:

$$f(x)=\frac{47}{\mathrm{sen}(x)-1}$$

Empezamos por la fracción. En ella debe cumplirse que el denominador sea distinto de cero. Lo escribimos:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)-1& \ne & 0\\ \mathrm{sen}(x)& \ne & +1\end{array}$$

Por las propiedades de la función seno sabemos que alcanza el valor 1 en el punto x = π/2. Como es una función periódica, obtenemos el conjunto M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Este es el conjunto de valores para los que el denominador sale igual a cero. Estos x no los podemos sustituir en nuestra función.

Pero eso no es todo: todavía tenemos que mirar el dominio de la función seno. Por suerte es igual a ℝ, así que no nos limita en nada. La restricción la impone únicamente el denominador de la fracción. Por tanto, Dom f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.