Funciones pares e impares

En las funciones podemos estudiar su simetría, es decir, podemos determinar si la función es par o impar. En un caso extremo puede ser par e impar a la vez, pero lo más habitual es que no sea ni par ni impar.

Función par

Una función es par si cumple una regla sencilla: cuando introduces en la función un elemento x y luego su opuesto −x, la función tiene que devolver el mismo valor. Una función par típica es f(x) = x². Si la llamas con los argumentos 6 y −6, obtienes: f(6) = 36 y f(−6) = 36. El argumento solo se diferenciaba en el signo, así que el resultado es el mismo.

La definición formal podría ser esta. Si la función f es par, tiene que cumplir

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f:f(x)=f(-x)$$

Para todos los x del dominio de la función tiene que cumplirse que, aunque llamemos a la función con el argumento opuesto, es decir, −x, los valores de la función son iguales.

¿Cómo se manifiesta una función par en la gráfica? Si introducimos en la función x y −x, obtenemos el mismo y. Así que, si lo pensamos: x y −x están en el eje x a la misma distancia del origen y tienen la misma coordenada y. Esto significa que la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y. Como ilustración, la gráfica de la función x²:

Entre las funciones clásicas son pares: el coseno y las funciones de la forma f(x) = x^a, donde a es un número par. El valor absoluto convierte en par una función que originalmente era impar, por ejemplo f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Función impar

La función impar tiene que cumplir reglas parecidas a las de la función par. Así, la función f es impar si cumple esta regla:

$$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f:f(-x)=-f(x)$$

En la práctica esto significa que, si a una función impar le pertenece el punto (a, b), también le tiene que pertenecer el punto de coordenadas opuestas, es decir, (−a, −b). Un ejemplo de función impar es la función f(x) = x³. Si sustituimos x por dos, obtenemos:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

En la segunda expresión obtendríamos

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

¿Cómo se manifiesta esto en la gráfica? ¿Qué pasa si a la función le pertenecen el punto (a, b) y a la vez (−a, −b)? Si lo dibujas, verás que esa gráfica será simétrica respecto del origen del sistema de coordenadas, es decir, del punto (0, 0). La gráfica de la función f(x) = x³ se muestra en la siguiente figura.

Entre las funciones clásicas son impares: f(x) = x^a, donde a es impar, y f(x) = ax, donde a es un número real cualquiera (se trata, por tanto, de una función lineal sin ordenada en el origen). Además, f(x) = a/x o el seno.

Comprobación de la paridad

¿Cómo comprobamos si una función es par? Tenemos que hacerlo según la definición. Tomemos, por ejemplo, la conocida función f(x) = x². La comprobamos según la definición, que nos dice que f(x) = f(−x). Si la función es par, tiene que cumplir:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Menos x al cuadrado lo podemos desarrollar, según las reglas del cálculo con potencias, así:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Menos uno al cuadrado es uno, así que volvemos a obtener solo x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

¿Es par la siguiente función?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Sustituimos en la definición:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Estas fracciones las podemos reorganizar de modo que, en lugar de tener el valor absoluto de toda la fracción, lo pasemos al numerador y al denominador.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Modificamos el denominador de la segunda fracción, porque sin duda se cumple |x| = |−x|, por la definición de valor absoluto.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Ahora ya obtenemos la igualdad.

Comprobación de la imparidad

¿Cómo comprobamos si una función es impar? De nuevo, según la definición. Esta dice que la función f es impar si

$$f(-x)=-f(x)$$

Empecemos con la función f(x) = x³. Sustituimos en la definición:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

El lado izquierdo lo podemos desarrollar igual que en el ejemplo anterior:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Menos uno al cubo es menos uno:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Así que tenemos la igualdad:

$$-x^3=-x^3$$

La función es impar.

¿Es impar la función dada?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Sustituimos en la definición:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Aquí no hay mucho que modificar: el signo menos de la primera fracción lo sacamos sencillamente delante de toda la fracción, con lo que obtenemos la igualdad:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

La función es impar.

Ni par ni impar

Una función no tiene por qué ser ni par ni impar. Probablemente la mayoría de las funciones son así. Sirva de ejemplo la función lineal f(x) = x + 1. Probemos a sustituir en la definición de función par:

$$x+1=-x+1$$

Despejamos x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

La igualdad no se cumple para todos los x, sino solo para algunos, así que la función no es par. Ahora la imparidad:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Esta ecuación ni siquiera tiene solución, por lo que la función no es impar.

Par e impar a la vez

¿Existe una función que sea par e impar a la vez? ¿Existe una gráfica de función que sea simétrica respecto del eje y y a la vez respecto del origen? La respuesta es que sí. Existe exactamente una función que es par e impar a la vez, y es la función constante f(x) = 0. La gráfica de la función coincide exactamente con el eje x.

Nota: en realidad existen infinitas funciones así, porque podemos definir una función g(x) que tenga la misma expresión, pero esté definida en otro dominio. Por ejemplo, podemos tener la función g(x) = 0 cuyo dominio sean solo los números naturales. Esta función se diferencia de la función f(x), que está definida sobre los números reales. Sin embargo, la expresión será siempre la misma.

Funciones compuestas

Se da una situación interesante si tenemos dos funciones que son impares o pares e intentamos sumarlas, multiplicarlas, etc. Por ejemplo, la suma de dos funciones pares vuelve a dar una función par. Las reglas y combinaciones son muchísimas.