Qué es una función

La función es un concepto absolutamente fundamental en matemáticas, y conviene que lo entiendas a fondo. Las matemáticas están llenas de funciones, y muchos de los símbolos que conoces desde primaria representan en realidad una función.

Analogía de la función

¿Has visto alguna vez una máquina de café? ¿Qué es lo característico de una máquina así? Que metes unas monedas y la máquina te suelta un café. Si echas más monedas, la máquina responde con un café mejor.

La función es una especie de máquina de café matemática. Metes en la función una entrada (las monedas) y la función devuelve una salida (el café). Ese es todo el principio básico de una función.

La tarea de la función es recibir una entrada, un número, hacer algo con ese número en su interior, cambiarlo y devolver después ese nuevo número como salida.

Conceptos básicos

Cada función tiene un nombre que la identifica. El nombre más habitual para una función es la letra «f». Para la función necesitamos una regla que determine cómo debe trabajar, es decir, cómo debe preparar la máquina el café. Para empezar, podemos imaginarnos la función como una tabla con dos columnas. En la primera columna estará nuestra entrada (en la máquina sería el valor de las monedas) y en la segunda la salida de la función (el café).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{salida}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vemos que la salida es siempre el doble de la entrada, pero eso no tiene por qué ser una regla. Podemos tener también una tabla como esta:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{salida}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Sin embargo, para empezar nos basta con la primera tabla, la regular. Podemos decir que esta tabla define una función f. ¿Qué hace la función? Nosotros le damos una entrada, la función busca esa entrada en la primera columna de la tabla y devuelve la salida que está en la misma fila. Si buscamos la salida de la función para el número tres, lo escribiríamos así:

$$f(3)=6$$

Hemos encontrado la fila en la que la entrada es igual a tres y en esa misma fila la salida era igual a seis. Además, se cumpliría que f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 y f(5) = 10. Escribir todas las funciones mediante tablas quizá parezca claro para unos pocos números, pero si trabajamos con más números resulta sumamente poco práctico. Por eso necesitamos otra forma de escritura. Podemos darla mediante una expresión algebraica de la función. En nuestra tabla se cumplía que la salida es el doble de la entrada. Con una expresión algebraica de la función lo escribiríamos así:

$$f(x)=2\cdot x$$

Esta es una sencilla función lineal, pero eso por ahora da igual. ¿Qué nos dice esta expresión? La letra f indica el nombre de la función, eso ya lo sabemos. La expresión entre paréntesis, es decir, la letra x, es el parámetro de la función. En la analogía con la máquina representaría el concepto de «valor de las monedas introducidas». El parámetro de la función es una variable en la que se guarda el valor que le pasamos. Si metiéramos en la máquina (la función) 20 céntimos, dentro de la función se cumpliría que x = 20. Y a partir de ahí la máquina, o la función, trabajará con ese valor a su manera.

Después viene el signo igual y, tras él, la propia regla, que nos especifica qué hay que hacer con el valor x. Vemos que la función multiplica por dos el valor x que recibe. Eso es todo.

Más ejemplos de funciones

En este lado derecho puede aparecer prácticamente cualquier expresión matemática. Pueden aparecer también otras funciones, y pueden aparecer condiciones que precisen la definición. Podríamos definir con palabras una función, por ejemplo, así: «si la entrada es un número par, devuelve cero; si la entrada es un número impar, devuelve uno». Será una función que solo devuelve unos y ceros, pero será una función.

Lo importante es entender que una función se puede definir de casi cualquier manera. Por supuesto, una función también tiene sus reglas, pero ahora no son tan importantes (además, una de ellas se menciona enseguida en el siguiente apartado). La definición de una función no tiene por qué tener sentido a primera vista ni seguir ningún orden. Una función puede devolver perfectamente siempre el doble del valor, salvo cuando la entrada es un siete. Entonces devuelve un nueve. Es bastante absurdo, pero también esto es una función.

También podemos llamar función a gran parte de las operaciones que hacemos fuera de las matemáticas. Por ejemplo, si cuentas la longitud de la palabra «mamut», podemos decir que has llamado a una función de nombre «longitud de la palabra» y le has pasado como argumento la palabra «mamut». La función ha contado las letras de la palabra y ha devuelto como salida el número cinco.

¿Necesitas calcular qué interés compuesto pagarás por un préstamo o por una hipoteca? También eso lo puede hacer una función. Basta con definir una función que calcule el importe de los intereses, por ejemplo, al cabo de diez años. ¿Necesitas saber cuántos kilómetros más puede recorrer el coche con un determinado número de litros de gasolina? ¡Define una función! Si el coche recorre de media, por ejemplo, 11 kilómetros por litro de gasolina, entonces la función que calcula cuántos kilómetros más podemos recorrer la podemos definir así:

$$recorremos(x)=11\cdot x$$

Si solo nos quedan 17 litros de gasolina, calculamos la distancia llamando a la función de este modo:

$$recorremos(17)=11\cdot 17=187$$

En resumen, una función es cualquier cosa que, para una entrada, nos devuelve un número. Devuelve la distancia en línea recta desde Zaragoza hasta una ciudad dada, devuelve la duración de la canción más larga de un álbum dado, devuelve el número de pelos de la cabeza de una persona dada, devuelve el número de patas de un animal dado, etc.

Propiedad fundamental de la función

Una condición muy importante para una función es que, volviendo a la tabla, en la primera columna, la de la entrada, no se repita ningún valor dos veces. Si la tabla fuera así:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{salida}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… entonces no seríamos capaces de decir qué debe devolver la función si le damos el uno:

$$f(1)=?$$

La función tiene que estar definida con claridad, no puede ocurrir que para la misma entrada pueda devolver dos resultados distintos. Eso sencillamente no puede ser. Exigimos a la función que con la misma entrada devuelva siempre también la misma salida. Ten en cuenta que este requisito no se refiere a la segunda columna, a la salida. Las salidas pueden ser perfectamente iguales, eso no nos molesta. Esta tabla sería válida:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{salida}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Evaluación de una función

Ya sabemos cómo se llama cada parte de una función y cómo definir una función a grandes rasgos. Ahora vamos a explicar paso a paso cómo se evalúa una función. Tenemos, pues, la función f(x) = 2x. ¿Qué pasará cuando metamos un tres en la función? Si queremos meter un tres en la función, significa que tenemos que sustituir el parámetro de la función por el número tres. El argumento de la función es el tres, así que sustituimos todas las x por un tres:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Ya vemos que la función suelta un seis, igual que hace un momento la tabla. Aquella, sin embargo, se limitaba solo a cinco números; nuestra nueva definición es capaz de abarcar también otros números:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

A este procedimiento, en el que sustituimos la variable x por valores concretos, lo llamamos evaluación de la función o llamada a la función, o también aplicación de la función. Así, si decimos que «llamamos a la función f con el argumento 5», queremos calcular el valor f(5), que en nuestro caso será f(5) = 2 · 5 = 10.

Dos conceptos más que conviene recordar. Aquello con lo que llamamos a la función (lo que sustituimos por x) se llama argumento de la función. Puede parecer algo confuso, pero si tenemos la función f(x) y la llamamos con el valor tres, f(3), entonces x es el parámetro de la función y 3 es el argumento de la función. El argumento es el propio valor con el que llamamos a la función. El parámetro es la variable original con la que está definida la función. Es más bien un detalle técnico.

Otro concepto es el valor de la función, que es el valor que la función devuelve como salida. La función anterior devolvió, al llamarla con el número tres, el número seis. El número seis es, por tanto, en este caso el valor de la función. Con una frase completa diríamos «la función f tiene en el punto tres el valor seis». Con la palabra «punto» se suele entender en este contexto el argumento de la función.

Funciones en las matemáticas corrientes

En las matemáticas corrientes aparece un montón de funciones que tienen una forma de escritura muy especial, de modo que ni siquiera parece que se trate de funciones. Por ejemplo, el valor absoluto no es otra cosa que una función. Toma como entrada un número y devuelve como salida o bien el mismo número, o bien el número con el signo opuesto.

Seguro que reconoces el símbolo de la raíz: $\sqrt{}$. Esto es, a su vez, una función. Toma como entrada un argumento y devuelve como salida la raíz cuadrada. De manera parecida, también el cuadrado x² es una función. Toma como entrada un número y devuelve como salida el cuadrado de ese número.

Es bastante importante darse cuenta de que la mayoría de estos símbolos mágicos no son en realidad nada más complicado que una función corriente. No mires el símbolo $\sqrt{}$ como un garabato raro y torcido; mira ese símbolo como una función.

Sobre todo para un principiante puede resultar confusa una expresión que contiene un montón de símbolos matemáticos con los que el pobre principiante no sabe qué hacer, cuando en realidad se trata simplemente de unas cuantas funciones compuestas. Tomemos como ayuda este ejemplo:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Cuando un profano en matemáticas ve esto, se rasca la cabeza y no tiene mucha idea de qué hacer con ello. Sin embargo, en esa expresión hay cuatro funciones bastante sencillas que se aplican sucesivamente a la variable x. Se podría escribir con funciones con nombre y anidadas así:

$$\text{factorial}(\text{raíz}(\text{abs}(\text{cuadrado}(x))))$$

La escritura es más larga, pero para quien no se maneja con los símbolos probablemente es más clara. Además, queda del todo claro el orden en que se irán llamando las funciones.

Resumen de la escritura de funciones

Una función tiene un nombre, que puede ser básicamente cualquier cosa. Lo más habitual es que la función general se llame f. Cada función tiene un número dado de parámetros, que escribimos entre paréntesis detrás del nombre. Si nuestra función f tuviera dos parámetros, lo escribiríamos así: f(x, y) o f(a, b). En general, el nombre de los parámetros no importa.

Algunas funciones de uso frecuente tienen su propio símbolo; por ejemplo, la raíz tiene el símbolo $\sqrt{}$. Además, sen o sen(x) es la función seno, |x| es la función valor absoluto y x! es la función factorial.

Si la función tiene un parámetro, a veces omitimos los paréntesis, lo que unas veces puede hacer la escritura más clara y otras no. Así, sen(x) y sen x son escrituras válidas de la función seno.

Cuando se habla del parámetro de la función, se habla de la letra x en la escritura f(x). El argumento es entonces el valor con el que llamamos a la función, el que sustituimos por x. A menudo estos dos conceptos se confunden. El valor de la función es el valor que obtenemos tras llamar a la función. Lo escribimos simplemente como el nombre de la función, los paréntesis y el argumento. Si tenemos la función f(x) = 2x y sustituimos el parámetro x por el argumento x = 4, diremos que hemos llamado a la función con el argumento x = 4 y que el valor resultante de la función f(4) es igual a ocho.