Unión, intersección, diferencia y complementario de conjuntos

Entre conjuntos podemos realizar distintas operaciones. Las más básicas son la unión, la intersección, la diferencia y el complementario.

Unión de conjuntos

La unión de conjuntos se denota con el símbolo ∪; así, la unión de los conjuntos A y B se escribe A ∪ B. La unión de los conjuntos A y B es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos del conjunto A y también todos los elementos del conjunto B. Definición:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$

Ejemplo: tomemos dos conjuntos A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6}. Su unión es el conjunto A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. El conjunto resultante contiene los elementos de ambos conjuntos.

Otro ejemplo: A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}. Su unión es A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Los elementos 2 y 3 no aparecerán dos veces en el conjunto resultante, porque un conjunto no contiene un mismo elemento más de una vez.

Otras propiedades:

• A ∪ A = A: si unimos dos conjuntos iguales, obtenemos de nuevo el mismo conjunto.
• A ∪ B = B ∪ A: la unión es conmutativa, no importa el orden.
• A ∪ ∅ = A: el conjunto vacío no contiene ningún elemento, así que no hay nada que unir.

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto que contiene los elementos que esos dos conjuntos tienen en común. Dicho con más precisión, el nuevo conjunto contendrá los elementos que pertenecen a A y a la vez pertenecen a B. La intersección se denota con el símbolo ∩. Definición:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$

Ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {4, 5, 6, 7}. La intersección es A ∩ B = {5, 7}. Otro ejemplo: A = {a, b, c, d, e} y B = {f, g, h, i, j}. La intersección es A ∩ B = ∅. Estos conjuntos no tienen ningún elemento en común, así que su intersección es el conjunto vacío.

Otras propiedades:

• A ∩ A = A: la intersección de dos conjuntos iguales es de nuevo el mismo conjunto.
• A ∩ B = B ∩ A: la intersección es conmutativa, no importa el orden.
• A ∩ ∅ = ∅: el conjunto vacío no contiene ningún elemento, así que no puede tener ningún elemento en común con el conjunto A.

Diferencia de conjuntos

La diferencia de conjuntos se denota con el símbolo habitual de la resta − o, mejor, con este signo menos inclinado ∖. La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos de A y no contiene ningún elemento de B. En resumen, miras qué elementos tiene el primer conjunto en común con el segundo y los eliminas. Definición:

$$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. La diferencia es A ∖ B = {1, 2, 3}. Son los elementos que nos quedan cuando eliminamos de A todos los elementos que están en B. Otro ejemplo: A = {a, b, d, e}. La diferencia es A ∖ A = ∅.

Otras propiedades:

• A ∖ A = ∅: igual que al restar dos números iguales obtenemos cero (por ejemplo, 5 − 5 = 0), al restar dos conjuntos iguales obtenemos el conjunto vacío.
• A ∖ ∅ = A: el conjunto vacío no contiene ningún elemento, así que del conjunto A no podemos quitar ningún elemento.

Complementario de un conjunto

El complementario de un conjunto A se denota de varias maneras, pero las más habituales son con el superíndice c, A^c, o con una barra superior: $\bar{A}$. Para simplificar, usaré A^c. Para calcular el complementario de un conjunto A necesitamos saber en qué conjunto lo calculamos. El complementario de un conjunto son todos los elementos que no están en A, es decir, es una especie de opuesto del conjunto A.

Si tomamos como conjunto universal M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, el complementario del conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} en M es el conjunto A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Contiene todos los elementos de M que no están en A. Podemos decir que A^c en M es igual a M ∖ A.

Si tomamos como conjunto universal los números enteros, el complementario del conjunto de los números pares serán los números impares. El complementario del conjunto A = {1, 2, 3, 4} será el conjunto A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Para el complementario se cumple que, si lo aplicamos dos veces, recuperamos el conjunto original. Por ejemplo, en los números enteros: el complementario de los pares son los impares, y el complementario de los impares son de nuevo los pares. Así que se cumple A = (A^c)^c (el complementario del complementario de A).