Derivoinnin perusesimerkkejä

Tässä artikkelissa esitellään ensin muutamia hyödyllisiä kaavoja derivaattojen käsittelyyn ja sen jälkeen yritetään derivoida joitakin funktioita – sekä yksinkertaisia että monimutkaisia. Jos et etsi ratkaistuja esimerkkejä vaan tarvitset selityksen derivaatan määritelmälle, siirry artikkeliin funktion derivaatta.

Polynomien derivaatta

Mainitaan ensin muutama kaava, joita tarvitaan, kun lasketaan polynomin muotoisten funktioiden derivaattoja. Vasemmalla puolella on alkeisfunktio, joka halutaan derivoida, ja oikealla puolella on derivoinnin tuloksena saatu funktio. Selvyyden vuoksi: c on vakio (heti ensimmäisellä rivillä on siis vakiofunktio) ja derivoidaan muuttujan x suhteen.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Muutama konkreettinen esimerkki:

$$f(x)=5$$

Tämä on vakiofunktio, joten käytetään ensimmäistä kaavaa ja saadaan:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Lineaarisen funktion f(x) = x derivaatta on toisen kaavan mukaan

$$f^{\prime }(x)=1,$$

siinä ei ole enempää tutkittavaa. Siksi kokeillaan derivoida funktio

$$f(x)=x^5.$$

Käytetään viimeistä kaavaa, jossa c:n paikalle sijoitetaan eksponentti, eli c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Kaava toimisi myös negatiiviselle eksponentille, joten jos halutaan derivoida funktio

$$f(x)=x^{-7},$$

saadaan:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Jatkossa tarvitaan funktioiden yhteen- ja kertolaskun kaavat. Ja jos derivoidusta funktiosta haluttaisiin saada takaisin alkuperäinen funktio, käytettäisiin integraaleja.

Summan derivaatta

Jos halutaan laskea sellaisen funktion derivaatta, jossa on lausekkeita summana, lasketaan yksinkertaisesti yksittäisten termien derivaatat ja lasketaan välitulokset yhteen. Merkitään se näin:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Yksinkertainen esimerkki: olkoon funktio f(x) = x + 5. Tämän funktion derivaatta on:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Funktio jaettiin kahdeksi funktioksi näin:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

ja sijoitettiin vain kaavaan. Eli laskettiin funktioiden f₁ ja f₂ derivaatat ja tulokset laskettiin yhteen. Täsmälleen samoin toimitaan vähennyslaskussa. Monimutkaisempi esimerkki:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Derivoidaan jälleen vain nämä kolme termiä erikseen ja jätetään ne summaksi:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Tulon derivaatta

Tulo ei valitettavasti ratkea yhtä helposti kuin tavallinen yhteenlasku; kahden funktion tulolle on käytettävä hieman monimutkaista kaavaa:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Triviaali funktio, jossa on kertolasku, on esimerkiksi funktio

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Tulon kaavassa on kaksi funktiota; ne saadaan tästä yhdestä funktiosta s(x) näin: f(x) = 5 ja g(x) = x². Nyt sijoitetaan vain kevyesti:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Nähdään, että jos funktio on muotoa

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

derivoinnin jälkeen saadaan

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Tämä sääntö voidaan vielä yleistää ja polynomin sijasta voidaan sijoittaa mikä tahansa funktio. Siis mille tahansa funktiolle f(x) pätee

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Kokeillaan esimerkiksi derivoida tämä funktio:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Derivoinnin alussa käytetään ensin summan sääntöä:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Tulossa olevat lausekkeet kirjoitetaan auki viimeksi mainitun kaavan mukaan:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Derivoidaan sulkeissa olevat lausekkeet funktion x^c derivointisäännön mukaan.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Ja lopuksi vain kerrotaan kertoimet:

$$=15x^2-14x.$$

Osamäärän derivaatta

Osamäärän derivaatta on taas hieman monimutkaisempi kuin tulon derivaatta. Kaava:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Mutta muuten eteneminen on samanlaista kuin tulon kohdalla. Heti esimerkki:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Murtoluvun osoittaja on funktio f(x), nimittäjä funktio g(x). Ja nyt vain sijoitetaan kaavaan:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Nimittäjässä on nimittäjän neliö ja osoittajassa murtoluku on kirjoitettu auki kaavan mukaan. Derivoidaan nyt ensimmäinen ja viimeinen sulku. Jälleen tarvitaan summan sääntöä; se ohitetaan ja kirjoitetaan tulos suoraan:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Tätä lauseketta voitaisiin vielä jotenkin sieventää, mutta se ei ole tässä luvussa olennaista.

Alkeisfunktioiden derivaatat

Esitetään nyt ilman johtamista joitakin kaavoja yleisten funktioiden derivaattojen laskemiseen.

Eksponentti- ja logaritmifunktiot:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Huomaa, että funktion e^x derivaatta on jälleen e^x. Se ei ole kirjoitusvirhe vaan mukava ominaisuus, josta on tullut lukemattomien vitsien perusta.

Trigonometriset funktiot:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Yksinkertainen esimerkki:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Molemmat lausekkeet ovat summana, joten riittää laskea näiden kahden lausekkeen derivaatat yhteen. Kummankin lausekkeen alussa on vakio, joka kertoo sen jälkeen tulevaa funktiota – tiedetään, että nyt riittää derivoida vain funktio ja jättää vakio ennalleen. Tehdään niin:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Nämä ovat taulukkoarvoja:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Derivaatan ominaisuuksista ja sen sovelluksista funktion kulun tutkimisessa tiedetään, että tietyin ehdoin voidaan ottaa kaksi derivoituvaa funktiota, ja niitä yhdistämällä saadaan jälleen derivoituva funktio. Näytetään, miten tällaisen yhdistetyn funktion derivaatta lasketaan.

Yhdistetyn funktion derivaatta on luultavasti vaikein näistä perusderivaatoista. Funktioita voi yhdistää. Mikä yhdistetty funktio on, voit lukea tarkemmin artikkeleista Mikä on funktio tai Funktion määrittelyjoukko. Karkeasti sanottuna se tarkoittaa, että yhden funktion argumentiksi annetaan toinen funktio. Symbolinen merkintä olisi h(g(x)). Konkreettinen funktio on esimerkiksi

$$f(x)=\sin (2x).$$

Mitkä kaksi funktiota siinä on? Sini ja sen sisällä oleva funktio 2x. Tähän funktioon f ei voi vain soveltaa yleistä kaavaa funktiolle sin(x), koska se olettaa, että argumenttina on x, ei 2x. Yhdistetyn funktion derivaatta lasketaan siis näin:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Eli derivoidaan ulkofunktio ja jätetään sen argumentti samaksi, ja kerrotaan tulos derivoidulla sisäfunktiolla. Sini-esimerkin tapauksessa pätisi:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Pilkku pelkästään sinin yläindeksissä tarkoittaa, että derivoidaan vain itse sini, ei koko lauseketta kuten yhtälön vasemmalla puolella. Sinin derivaatta on kosini, joten sinin tilalle kirjoitetaan vain kosini. Ja 2x:n derivaatta on 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Toinen, hieman vaikeampi esimerkki.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Tässä on yksi sisäkkäinen funktio enemmän. Ulkofunktio on kosini, keskimmäinen on logaritmi ja sisimmäinen on potenssi x². Edetään kuitenkin jälleen kaavan mukaan. Kirjoitetaan auki:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Derivoidaan vain kosini ja jätetään kosinin argumentti ennalleen, eli koko logaritmi jää paikalleen. Koko tämä lauseke kerrotaan vielä argumentin derivaatalla, eli logaritmin derivaatalla. Derivoidaan kosini ja saadaan:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Oikealla oleva lauseke ei muuttunut, vain kosini derivoitiin. Siirrytään nyt logaritmin derivointiin. Se on jälleen yhdistetty funktio, joten yhdistetyn funktion kaavaa sovelletaan rekursiivisesti. Vasen lauseke vain kirjoitetaan uudelleen:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Derivoidaan logaritmi ja jätetään sen argumentti samaksi, eli x². Mutta koko lauseke kerrotaan vielä argumentin derivaatalla, eli juuri x²:n derivaatalla. Logaritmin derivaatta on murtoluku 1/x, jossa x:n paikalle sijoitetaan argumentti x², ja x²:n derivaatta on 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$