Kulma

Jos sinulla on jokin kulma ja haluat kopioida sen toiseen paikkaan, voit käyttää kulman siirtämisen menetelmää.

Mikä kulma on

Kulman määrittely ei ole aivan yksinkertainen asia, ja määritelmiä on erilaisia. Meidän tarpeisiimme riittää kuitenkin tämä: kulma on tason osa, jota rajaavat kaksi puolisuoraa, joilla on yhteinen alkupiste. Määritelmässä on tärkeää, että kulma ei ole vain nuo kaksi kylkeä, vaan koko se alue eli se tason osa, jonka kyljet rajaavat. Katso seuraava kuva:

Edellinen kuva ei kuitenkaan ollut täysin täsmällinen, koska emme määritelleet, kumpaa kulmaa tarkoitamme. Ensi silmäyksellä kulmalla ABC voisi ajatella mainittua aluetta, mutta yhtä hyvin voisi ajatella tason toista osaa:

Siksi kulmia merkittäessä on syytä erottaa, tarkoitetaanko kuperaa kulmaa (jonka suuruus on alle 180°) vai koveraa kulmaa (yli 180°). Koveraa kulmaa voidaan kutsua myös ei-kuperaksi kulmaksi. Tämä voidaan merkitä esimerkiksi suunnatun kulman avulla.

Kulmalla voi olla joko positiivinen tai negatiivinen suunta. Positiivisessa suunnassa edetään vastapäivään ja negatiivisessa myötäpäivään. Kun kirjoitamme kulman ABC, ensimmäisenä mainitaan puolisuora BA ja toisena puolisuora BC. Positiivisessa suunnassa katsomme puolisuoraa BA ja jatkamme siitä vastapäivään. Yllä olevassa esimerkissä saisimme ensimmäisen kuvan eli kuperan kulman. Jos valitsisimme negatiivisen suunnan, saisimme koveran kulman eli toisen kuvan. Tavallisesti käytetään positiivista suuntaa, ja myös tässä artikkelissa kulmat kirjoitetaan positiiviseen suuntaan.

Kulma koostuu siis kahdesta kyljestä, jotka rajaavat kulman, kärjestä, josta puolisuorat lähtevät, sekä alueesta, jonka kyljet rajaavat. Jos kulma on ABC, sen kyljet ovat BA ja BC ja kärki on B.

Kulman suuruus

Samoin kuin voimme mitata janan pituuden, voimme mitata myös kulman suuruuden. Se mitataan joko tavallisissa asteissa, jotka varmasti tunnet, tai kaarimitassa. Astemitta on yksinkertainen: 90° on suorakulma (esimerkiksi neliön jokainen sisäkulma on 90°), 180° on oikokulma (sen muodostavat esimerkiksi vastakkaiset puolisuorat) ja 360° on täysikulma (sen muodostavat päällekkäiset puolisuorat, jolloin kulma on koko ympäröivä taso). Aste jaetaan edelleen kaariminuutteihin (merkintä ′) ja kaarisekunteihin (merkintä ″). Yhdessä asteessa on 60 minuuttia ja yhdessä minuutissa on kuusikymmentä sekuntia: 1° = 60′ ja 1′ = 60″.

Kuvat eri kulmista:

Kaarimittaa on jo hieman vaikeampi hahmottaa, koska siinä lasketaan radiaaneilla, jotka ovat dimensiottomia. Radiaanin suuruus ja muut ominaisuudet olen kuitenkin jo kuvannut trigonometristen funktioiden yhteydessä, joten en toista niitä tässä.

Kulmat voidaan suuruuden mukaan jakaa edelleen teräviin kulmiin, joiden suuruus on alle 90°, ja tylppiin kulmiin, joiden suuruus on 90° ja 180° välillä. Ne ovat eräänlainen kuperan kulman osajoukko, jonka esittelin edellä. Yli 180° on koverilla kulmilla, joita ei enää jaeta tarkemmin.

Kulmaparit

Joillakin erityisillä kulmapareilla on ominaisuuksia, jotka on hyvä tietää.

• Ristikulmat ovat kulmia, joilla on yhteinen kärki ja joiden kyljet muodostavat vastakkaisia puolisuoria. Ristikulmat ovat aina yhtä suuret.

• Vieruskulmat ovat kulmia, joilla on yksi yhteinen kylki ja joiden toiset kyljet ovat vastakkaisia puolisuoria. Vieruskulmien summa on aina 180° eli oikokulma.

• Samankohtaiset kulmat ovat kulmia, joiden ensimmäiset kyljet ovat yhdensuuntaiset ja toiset kyljet ovat samalla suoralla. Lisäksi kulmilla on oltava sama suunta. Samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret.

On myös muita kulmatyyppejä, mutta ne ovat vain asemia, jotka voi johtaa näistä kolmesta edellä kuvatusta asemasta.

Kulmien laskutoimitukset

Kulmilla voi tehdä joitakin alkeellisia laskutoimituksia. Perustavin on yhteenlasku. Numeerisesti siinä ei ole juuri mitään vaikeaa: kulmien suuruudet vain lasketaan yhteen. Jos kulma on suurempi kuin 360°, se muunnetaan yleensä yksinkertaisempaan muotoon jollekin välille 0° − 360°. Eli ikään kuin laskisit kolmensadankuudenkymmenen järjestelmässä. Samoin jos tehtävässä on minuutteja tai sekunteja, on laskettava kuusikymmenjärjestelmässä (kuten tavallisella kellolla).

Katsotaan varmuuden vuoksi esimerkki. Laske yhteen nämä kulmat: α = 183° 51′ ja β = 222° 24′. Lasketaan ensin minuutit: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (menetelmä on yksinkertainen: jaa 75 luvulla kuusikymmentä; tulos kertoo asteiden määrän ja jakojäännös jäljellä olevien minuuttien määrän). Lasketaan sitten asteet: 183° + 222° = 405°. Tähän välitulokseen lisätään edellinen tulos: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nyt tätä kulmaa pienennetään 360:llä niin kauan, että se on välillä 0–360. Pienennämme siksi, että kun kierrämme 360°, olemme taas alussa, ja 361° kulma näyttää paperilla samalta kuin 1° kulma. Päädymme tähän laskuun: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia