Kolmion piirtäminen

Kolmio on monikulmio, jolla on täsmälleen kolme sivua. Näitä sivuja merkitsemme pienillä kirjaimilla, tavallisesti a, b, c. Kolmiolla on myös kolme kärkeä, joita merkitsemme isoilla kirjaimilla, tavallisesti A, B, C. Sivu a vastaa sitten janaa BC, sivu b janaa AC ja sivu c janaa AB. Sivu a on aina kärjen A vastainen, samoin muut sivut.

Tunnemme kaikki kolme sivua

Kun tunnemme kaikkien kolmen sivun pituudet, kolmion piirtäminen on melkoisen helppoa. Valitsemme yhden sivuista, vaikka AB, ja piirrämme sen tavallisena janana. Sitten on selvitettävä, missä kolmas piste on. Se tehdään helposti: otetaan harppi, painetaan se pisteeseen B ja piirretään ympyrä, jonka säde on sivun BC pituus, vaikkapa viisi senttimetriä. Näin selviää, missä kaikkialla piste C voisi olla, jotta sen etäisyys pisteestä B olisi täsmälleen viisi senttimetriä. Sitten teemme saman sivulle AC ja pisteelle A. Nyt meillä on kaksi ympyrää, ja niiden leikkauspiste antaa pisteen, jonka etäisyys kärjestä A on annettu määrä senttimetrejä ja pisteestä B samoin.

Tunnemme kaksi sivua ja korkeusjanan

Kolmion jokaisella sivulla on oma korkeusjanansa, joka määritellään vastakkaisesta pisteestä annetulle sivulle piirretyksi kohtisuoraksi. Jos kohtisuora ei leikkaisi sivua suoraan, sivua on jatkettava sinne, missä se leikkaa kohtisuoran. Korkeusjanan perusominaisuus on siis, että se on kohtisuorassa sitä sivua vastaan, johon se kuuluu. Tätä käytetään usein laskutehtävissä, koska voimme käyttää Pythagoraan lausetta. Sivulle c piirretty korkeusjana merkitään yleensä pienellä kirjaimella h ja alaindeksillä sen sivun merkintä, jota korkeusjana vastaa. Meidän tapauksessamme siis h_c. Kohtisuoran kantapiste (sivun ja kohtisuoran leikkauspiste) merkitään samoin, mutta pienen h:n sijaan kirjoitamme ison P:n: P_c.

Korkeusjana piirrettiin kärjestä C. Toinen piste on vastakkaisella sivulla AB (eli sivulla c), ja jana CP_c on kohtisuorassa sivua c vastaan. Piste P_c on korkeusjanan kantapiste; sivua c kutsutaan kannaksi. Kantapiste nimetään yleensä kirjaimella P ja alaindeksillä, jossa on se kärki, josta korkeusjana lähtee. Tässä tapauksessa se on kärki C.

Korkeusjana piirretään melko helposti: otat viivoittimen ja piirrät sivulle c kohtisuoran, joka kulkee juuri pisteen C kautta. Siinä kaikki.

Korkeusjanan voi piirtää kolmion jokaisesta kärjestä. Kaikki korkeusjanat leikkaavat toisensa pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi. Ortokeskus voi olla kolmion sisäpuolella, mutta ei tarvitse olla. Teräväkulmaisessa kolmiossa ortokeskus on kolmion sisäpuolella.

Tunnemme kaksi sivua ja keskijanan

Korkeusjanan lisäksi jokaisella kolmiolla on vielä kolme keskijanaa. Keskijana on jana, joka yhdistää kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Kaikki kolme keskijanaa leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, jota kutsutaan painopisteeksi. Tämä painopiste jakaa keskijanat aina suhteessa 2:1 — keskijanan painopistettä edeltävä osa on kaksi kertaa pidempi kuin painopisteen jälkeinen osa. Keskijanat nimetään pienellä kirjaimella m ja alaindeksillä sen sivun, johon ne kuuluvat. Painopiste nimetään yleensä yhdellä isolla kirjaimella G.

Jos tunnet kaksi sivua ja jonkin näistä kahdesta sivusta piirretyn keskijanan, kolmio piirtyy hyvin helposti. Aloitat taas piirtämällä sivun AB ja selvität sitten, missä piste C on, piirtämällä kaksi ympyrää: ensimmäisen keskipisteenä B (tai A, jos tunnet pituuden AC) ja toisen keskipisteenä sivun AB keskipiste. Piste, jossa ympyrät leikkaavat, on etsitty piste C. Menetelmä on sama kuin ensimmäisessä konstruktiossa, paitsi että kolmion ABC sijaan piirrät ensin kolmion M_cBC, josta selviää etsitty kärki C.

Tunnemme kaksi sivua ja toisen keskijanan

Katso ensin piirros siitä, miltä tämän pitäisi suunnilleen näyttää:

Punaisella merkityt asiat tunnemme, ja niiden perusteella meidän on piirrettävä koko kolmio. Menetelmä on seuraava -– täydennämme tämän kolmion nelikulmioksi ja piirrämme loput nelikulmion perusteella. Asian selittää selvästi seuraava kuva (muistutan, että pituus BD on kaksi kertaa pituus m_b).

Tämän nelikulmion piirrämme helposti. Piirrämme ensin kolmion ABD. Sivun AB pituuden tunnemme, sivun BD pituus on 2m_b ja sivun AD pituus on sama kuin sivun BC pituus. Piste C löytyy joko niin, että etsimme pisteen M_b, joka on janan BD keskipiste, ja piirrämme sitten vain puolisuoran AM_b, ja pituus AC on pituus 2AM_b. Toinen mahdollisuus on piirtää sivun AB kanssa yhdensuuntainen suora, jolla piste C on, ja sen etäisyys pisteestä D on |AB|.