Fonction paire et impaire

Pour les fonctions, on peut déterminer leur parité, c’est-à-dire dire si la fonction est paire ou impaire. Dans un cas extrême, une fonction peut être à la fois paire et impaire, mais en général elle n’est ni paire ni impaire.

Fonction paire

Une fonction est paire si elle satisfait une règle simple : si l’on met dans la fonction un élément x, puis son opposé −x, la fonction doit renvoyer la même valeur finale. La fonction paire typique est f(x) = x². Si on l’appelle avec les arguments 6 et −6, on obtient : f(6) = 36 et f(−6) = 36. Les arguments ne diffèrent que par le signe, le résultat est donc le même.

Une définition formelle pourrait s’écrire ainsi. Si la fonction f est paire, elle doit vérifier :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f:f(x)=f(-x)$$

Pour tout x de l’ensemble de définition, il faut que, même lorsqu’on appelle la fonction avec l’argument opposé −x, les valeurs de la fonction soient égales.

Comment la parité se voit-elle sur le graphe ? Si l’on met x puis −x dans la fonction, on obtient le même y. En y réfléchissant : x et −x sont à la même distance de l’origine sur l’axe des abscisses et ont la même ordonnée. Le graphe d’une fonction paire est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Voici, pour illustrer, le graphe de x² :

Parmi les fonctions classiques, les fonctions paires sont : le cosinus, les fonctions de la forme f(x) = x^a où a est un entier pair. Une fonction impaire peut aussi devenir paire grâce à la valeur absolue, par exemple f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Fonction impaire

Une fonction impaire doit satisfaire des règles semblables à celles de la fonction paire. Ainsi, la fonction f est impaire si elle vérifie cette règle :

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f:f(-x)=-f(x)$$

En pratique, cela signifie que si le point (a ; b) appartient à la courbe d’une fonction impaire, alors le point de coordonnées opposées (−a ; −b) doit lui aussi y appartenir. Un exemple de fonction impaire est f(x) = x³. Si l’on remplace x par deux, on obtient :

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Dans la seconde expression, on obtient :

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Que devient ce cas sur le graphe ? Si la courbe contient à la fois le point (a ; b) et le point (−a ; −b), en dessinant, tu verras que ce graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère, c’est-à-dire au point (0 ; 0). Le graphe de f(x) = x³ est représenté sur la figure suivante.

Parmi les fonctions classiques, les fonctions impaires sont : f(x) = x^a où a est impair, f(x) = ax où a est un réel quelconque (il s’agit donc d’une fonction linéaire, c’est-à-dire d’une fonction affine sans terme constant). Il y a aussi f(x) = a/x et le sinus.

Vérifier qu’une fonction est paire

Comment vérifier qu’une fonction est paire ? Il faut revenir à la définition. Prenons par exemple la fonction bien connue f(x) = x². Vérifions à l’aide de la définition. Elle nous dit que f(x) = f(−x). Si la fonction est paire, elle doit vérifier :

$$x^2=(-x{)}^2$$

Selon les règles de calcul avec les puissances, le carré de l’opposé de x s’écrit ainsi :

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Moins un au carré vaut un, on retrouve donc simplement x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

La fonction suivante est-elle paire ?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Remplaçons dans la définition :

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

On peut réarranger ces fractions : au lieu d’appliquer la valeur absolue à toute la fraction, on la place sur le numérateur et sur le dénominateur.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Transformons le dénominateur de la seconde fraction, car on a bien |x| = |−x|, par définition de la valeur absolue.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

On obtient bien une égalité.

Vérifier qu’une fonction est impaire

Comment vérifier qu’une fonction est impaire ? Là encore, il faut revenir à la définition. Elle dit que la fonction f est impaire si

$$f(-x)=-f(x)$$

Commençons par la fonction f(x) = x³. Remplaçons dans la définition :

$$(-x{)}^3=-x^3$$

On peut développer le membre de gauche comme dans l’exemple précédent :

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Moins un au cube vaut moins un :

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

On obtient donc l’égalité :

$$-x^3=-x^3$$

La fonction est impaire.

La fonction donnée est-elle impaire ?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Remplaçons dans la définition :

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Il n’y a pas grand-chose à transformer : on fait sortir le signe moins devant toute la fraction, et l’on obtient l’égalité :

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

La fonction est impaire.

Ni paire, ni impaire

Une fonction peut n’être ni paire ni impaire ; c’est même le cas de la plupart d’entre elles. Prenons l’exemple d’une fonction affine f(x) = x + 1. Essayons de remplacer dans la définition de la parité :

$$x+1=-x+1$$

Isolons x :

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

L’égalité n’est pas vraie pour tout x, mais seulement pour certaines valeurs : la fonction n’est donc pas paire. Passons à l’imparité :

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Cette équation n’a même jamais de solution : la fonction n’est donc pas impaire.

À la fois paire et impaire

Existe-t-il une fonction à la fois paire et impaire ? Existe-t-il un graphe symétrique à la fois par rapport à l’axe des ordonnées et par rapport à l’origine ? La réponse est oui. Il existe exactement une fonction à la fois paire et impaire : la fonction constante f(x) = 0. Son graphe est exactement l’axe des abscisses.

Remarque : en réalité, il existe une infinité de telles fonctions, car on peut définir une fonction g(x) ayant la même expression mais définie sur un autre ensemble de définition. Par exemple, la fonction g(x) = 0 dont l’ensemble de définition ne serait que les entiers naturels. Cette fonction se distingue de f(x), qui est définie sur les nombres réels. Toutefois, l’expression reste toujours la même.

Somme et produit de fonctions

Une situation intéressante se présente lorsque l’on a deux fonctions paires ou impaires et que l’on cherche à les additionner, à les multiplier, etc. Par exemple, la somme de deux fonctions paires est encore une fonction paire. Les règles et les combinaisons possibles sont nombreuses.