Qu’est-ce qu’une fonction

La fonction est une notion absolument essentielle en mathématiques, qu’il faut parfaitement maîtriser. Les mathématiques sont pleines de fonctions, et bien des symboles que tu connais depuis l’école élémentaire représentent en fait une fonction.

Analogie avec une machine à café

As-tu déjà vu une machine à café ? Qu’est-ce qui caractérise ce genre de machine ? Tu y introduis quelques pièces, et la machine te rend un café. Si tu y mets davantage de pièces, la machine te sert un meilleur café.

Une fonction est une sorte de machine à café mathématique. Tu introduis dans la fonction une entrée (une pièce), et la fonction renvoie une sortie (le café). C’est tout le principe de base d’une fonction.

La fonction a pour rôle de recevoir une entrée, un nombre, d’effectuer une opération sur ce nombre, de le transformer, puis de renvoyer ce nouveau nombre en sortie.

Notions de base

Chaque fonction possède un nom qui la désigne. Le nom le plus courant pour une fonction est la lettre « f ». Pour une fonction, il nous faut une règle qui indique comment elle travaille, c’est-à-dire comment la machine prépare ce café. Pour commencer, on peut se représenter une fonction comme un tableau à deux colonnes. Dans la première colonne se trouve l’entrée (dans la machine, la valeur des pièces) et dans la seconde la sortie de la fonction (le café).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrée}& \text{sortie}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

On voit que la sortie est toujours deux fois plus grande que l’entrée, mais ce n’est absolument pas obligatoire. On peut aussi avoir un tableau comme celui-ci :

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrée}& \text{sortie}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Pour commencer, le premier tableau, régulier, nous suffira. On peut dire que ce tableau définit la fonction f. Que fait la fonction ? On lui donne une entrée ; la fonction cherche cette entrée dans la première colonne du tableau et renvoie la sortie située sur la même ligne. Si l’on cherche la sortie de la fonction pour le nombre trois, on écrit :

$$f(3)=6$$

Nous avons trouvé la ligne où l’entrée vaut trois et où, sur la même ligne, la sortie vaut six. On aurait de même f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 et f(5) = 10. Écrire toutes les fonctions sous forme de tableaux semble clair pour quelques nombres, mais dès qu’on travaille avec beaucoup de nombres, c’est extrêmement peu pratique. Il nous faut donc une autre forme d’écriture : on peut la donner par une règle de calcul. Dans notre tableau, la sortie est deux fois plus grande que l’entrée. On peut l’écrire avec une règle de calcul ainsi :

$$f(x)=2\cdot x$$

Il s’agit d’une simple fonction linéaire, mais cela importe peu pour l’instant. Que nous dit cette expression ? La lettre f désigne le nom de la fonction, on le sait déjà. L’expression entre parenthèses, c’est-à-dire la lettre x, désigne le paramètre de la fonction. Dans l’analogie avec la machine, cela correspondrait à la notion de « valeur des pièces introduites ». Le paramètre est une variable dans laquelle on enregistre la valeur qui lui est transmise. Si l’on introduisait 2 € dans la machine (la fonction), on aurait dans la fonction x = 2. La machine, ou la fonction, travaille ensuite avec cette valeur à sa façon.

Vient ensuite le signe égal, et après lui la règle elle-même, qui précise ce qu’il faut faire de la valeur x. On voit que la fonction multiplie la valeur x transmise par deux. C’est tout.

Autres exemples de fonctions

À droite du signe égal, il peut y avoir pratiquement n’importe quelle expression mathématique. Il peut même y avoir d’autres fonctions, ou des conditions qui précisent la définition. On pourrait par exemple définir une fonction en mots ainsi : « si l’entrée est un nombre pair, renvoie zéro ; si l’entrée est un nombre impair, renvoie un ». Ce sera une fonction qui ne renvoie que zéro ou un, mais c’est bien une fonction.

Il est important de comprendre qu’une fonction peut être définie presque de n’importe quelle manière. Une fonction a bien sûr ses propres règles, mais celles-ci ne sont pas encore si importantes : l’une d’elles est d’ailleurs mentionnée dans le chapitre suivant. La définition d’une fonction n’a pas forcément de sens à première vue, et elle ne doit pas nécessairement suivre une logique. Une fonction peut très bien renvoyer toujours le double de la valeur, sauf lorsque l’entrée est 7 : elle renvoie alors 9. C’est sans doute assez absurde, mais c’est quand même une fonction.

On peut aussi appeler fonction une grande partie des opérations que nous effectuons en dehors des mathématiques. Par exemple, si tu comptes la longueur du mot « tigre », on peut dire que tu as appelé une fonction nommée « longueur du mot » et que tu lui as transmis comme argument le mot « tigre ». La fonction a compté les lettres du mot et a renvoyé en sortie le nombre cinq.

Veux-tu calculer combien tu paieras en intérêts composés pour un prêt, ou pour un prêt immobilier ? Une fonction peut aussi s’en charger. Il te suffit de définir une fonction qui calcule le montant des intérêts, par exemple au bout de dix ans. Tu veux savoir combien de kilomètres une voiture peut encore parcourir avec un certain nombre de litres d’essence ? Définis une fonction ! Si la voiture parcourt en moyenne, par exemple, 11 kilomètres avec un litre d’essence, la fonction qui calcule la distance encore parcourable peut s’écrire ainsi :

$$distance(x)=11\cdot x$$

S’il ne nous reste plus que 17 litres d’essence, on calcule la distance en appelant la fonction ainsi :

$$distance(17)=11\cdot 17=187$$

En bref, une fonction est tout ce qui, à une entrée, renvoie un nombre. Renvoie la distance à vol d’oiseau entre Lille et une ville donnée, renvoie la durée du morceau le plus long d’un album donné, renvoie le nombre de cheveux d’une personne donnée, renvoie le nombre de pattes d’un animal donné, etc.

Propriété fondamentale d’une fonction

Une condition extrêmement importante pour une fonction, si l’on revient au tableau, est qu’aucune valeur ne se répète deux fois dans la première colonne, celle des entrées. Si ce tableau ressemblait à ceci :

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrée}& \text{sortie}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… on ne pourrait pas dire ce que la fonction doit renvoyer si l’on y introduit 1 :

$$f(1)=?$$

Une fonction doit être clairement définie : il ne peut pas arriver que, pour une même entrée, elle renvoie deux résultats différents. C’est tout simplement impossible. On exige donc qu’une même entrée donne toujours la même sortie. Attention : cette exigence ne concerne pas la seconde colonne, celle des sorties. Les sorties peuvent très bien être identiques, cela ne pose aucun problème. Ce tableau serait valide :

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrée}& \text{sortie}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Évaluation d’une fonction

Nous savons maintenant comment s’appelle chaque partie d’une fonction et comment la définir en gros. Expliquons à présent, pas à pas, comment se déroule l’évaluation d’une fonction. Prenons donc la fonction f(x) = 2x. Que se passe-t-il si l’on introduit le nombre trois dans la fonction ? Introduire le nombre trois signifie pour nous substituer le nombre trois au paramètre de la fonction. L’argument de la fonction est le trois : on remplace donc partout x par trois :

$$f(3)=2\cdot 3$$

On voit déjà que la fonction renvoie six, comme le tableau tout à l’heure. Celui-ci se limitait cependant à cinq nombres, alors que notre nouvelle définition permet de traiter d’autres nombres :

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Ce procédé, qui consiste à substituer des valeurs concrètes à x, s’appelle l’évaluation de la fonction, ou l’appel de la fonction, ou encore l’application de la fonction. Si l’on dit « on appelle la fonction f avec l’argument 5 », on veut calculer la valeur f(5), qui vaut dans notre cas f(5) = 2 · 5 = 10.

Deux autres notions sont à retenir. Ce avec quoi on appelle la fonction (ce qu’on substitue à x) s’appelle l’argument de la fonction. Cela peut paraître un peu confus, mais si l’on a une fonction f(x) et qu’on l’appelle avec la valeur trois, f(3), alors x est le paramètre de la fonction et 3 est son argument. L’argument est la valeur elle-même avec laquelle on appelle la fonction. Le paramètre est la variable initiale avec laquelle la fonction est définie. C’est plutôt un détail technique.

Une autre notion est l’image, c’est-à-dire la valeur que la fonction renvoie en sortie. La fonction précédente, appelée avec le nombre trois, a renvoyé le nombre six. Le nombre six est donc, dans ce cas, l’image. En phrase complète, on dit : « la fonction f prend la valeur six au point trois » ou « l’image de trois est six ». Le terme « point » désigne en général, dans ce contexte, l’argument de la fonction.

Fonctions en mathématiques courantes

En mathématiques courantes, on rencontre beaucoup de fonctions dont la notation est très particulière, si bien qu’on ne se doute même pas qu’il s’agit de fonctions. Par exemple, la valeur absolue n’est rien d’autre qu’une fonction. Elle prend en entrée un nombre et renvoie en sortie soit le même nombre, soit le nombre de signe opposé.

Tu reconnais sans doute le symbole de la racine carrée : $\sqrt{}$. Il s’agit là encore d’une fonction. Elle prend en entrée un argument et renvoie en sortie la racine carrée. De même, la puissance x² est une fonction : elle prend un nombre en entrée et renvoie en sortie le carré de ce nombre.

Il est assez important de comprendre que la plupart de ces symboles « magiques » ne sont en réalité rien d’autre qu’une fonction ordinaire. Ne regarde pas le symbole $\sqrt{}$ comme une étrange forme recourbée, regarde-le comme une fonction.

Une expression qui contient une foule de symboles mathématiques peut être déroutante, surtout pour un débutant qui ne sait pas quoi faire de la moitié d’entre eux, alors qu’il ne s’agit tout simplement que de quelques fonctions composées. Prenons cet exemple :

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Un profane en mathématiques se gratterait la tête sans savoir trop quoi en faire. Pourtant, cette expression contient en tout quatre fonctions assez simples, appliquées successivement à la variable x. On pourrait la décomposer à l’aide de fonctions nommées et imbriquées, ainsi :

$$\text{factorielle}(\text{racine}(\text{valeur absolue}(\text{carré}(x))))$$

Cette écriture est plus longue, mais sans doute plus claire pour quelqu’un qui ne s’y retrouve pas dans les symboles. Elle montre aussi très clairement l’ordre dans lequel les fonctions sont appelées successivement.

Résumé de l’écriture d’une fonction

Une fonction a un nom, qui peut être pratiquement n’importe quoi. Le plus souvent, une fonction générique est nommée f. Chaque fonction a un nombre donné de paramètres, que l’on écrit entre parenthèses après le nom. Si notre fonction f avait deux paramètres, on écrirait : f(x, y) ou f(a, b). En général, le nom donné aux paramètres n’a pas d’importance.

Certaines fonctions souvent utilisées ont leur propre symbole : par exemple, la racine carrée a pour symbole $\sqrt{}$. Ensuite, sin ou sin(x) est la fonction sinus, |x| est la fonction valeur absolue et x! est la fonction factorielle.

Lorsqu’une fonction n’a qu’un seul paramètre, on omet parfois les parenthèses, ce qui peut rendre l’écriture plus claire ou non selon les cas. Ainsi sin(x) et sin x sont deux écritures valides de la fonction sinus.

Quand on parle du paramètre de la fonction, on parle de la lettre x dans l’écriture f(x). L’argument est alors la valeur avec laquelle on appelle la fonction, celle que l’on substitue à x. Ces deux notions se confondent souvent. L’image est la valeur obtenue après l’appel de la fonction. On l’écrit simplement comme le nom de la fonction, des parenthèses et l’argument. Si l’on a la fonction f(x) = 2x et que l’on substitue à x l’argument x = 4, on dit qu’on a appelé la fonction avec l’argument x = 4, et que l’image f(4) vaut huit.