Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un simple cercle, sans dimension : son rayon vaut un. Il sert à illustrer clairement les définitions des différentes fonctions trigonométriques.

Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?

Le cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon mesure un et dont le centre se trouve à l'origine du repère, c'est-à-dire au point (0 ; 0), que l'on note O. Regarde la figure suivante :

Le cercle est en outre divisé en quatre parties appelées quadrants. En haut à droite se trouve le premier quadrant, en haut à gauche le deuxième, en bas à gauche le troisième et en bas à droite le quatrième. Comme nous utiliserons ce cercle pour représenter des angles, les degrés y sont indiqués. C'est au point de zéro degré que commence généralement le côté de l'angle, qui tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est pourquoi le point (0 ; 1) est marqué d'un angle droit.

Définition du sinus et du cosinus sur le cercle

Sur le cercle trigonométrique, on peut représenter très clairement chacune des fonctions trigonométriques. On commence par tracer un angle sur le cercle, puis on montre où lire sur le cercle les valeurs des différentes fonctions.

On a tracé l'angle AOB en rouge sur le cercle. Cet angle a été nommé alpha. Les côtés de l'angle coupent le cercle trigonométrique en deux points : A et B. C'est le point B qui nous intéressera. Si l'on trace depuis le point B une droite parallèle à l'axe des abscisses x (sur la figure, il s'agit de la ligne horizontale en pointillés), cette droite coupe l'axe des ordonnées y en un seul point. On note ce point P_s. La longueur du segment OP_s (segment vert) est alors égale au sinus de l'angle alpha.

Comme on travaille sur le cercle trigonométrique, dont le centre est à l'origine du repère, la longueur du segment OP_s (segment vert) est égale à la coordonnée y du point P_s, qui est elle-même égale à la coordonnée y du point B.

On peut aussi lire le cosinus sur le même cercle. On trace pour cela une droite parallèle à l'axe des ordonnées y passant par le point B. Cette droite coupe l'axe des abscisses x en un point que l'on note P_c. La longueur du segment OP_c est alors égale au cosinus de l'angle alpha. On peut à nouveau dire que cette valeur est égale à la coordonnée x du point B et de P_c.

Définition de la tangente et de la cotangente

De la même manière que nous avons défini le sinus et le cosinus sur le cercle trigonométrique, on peut y définir la tangente et la cotangente. Pour plus de clarté, on montre d'abord où apparaît la tangente sur le cercle. Il nous faut une droite supplémentaire : une droite parallèle à l'axe des ordonnées y qui passe par le point A, c'est-à-dire par le point (1 ; 0). Sur la figure suivante, c'est la droite bleue :

Cette droite coupe la demi-droite (le côté de l'angle) OB en un point, que l'on note P_t. La longueur du segment AP_t est alors égale à la tangente de l'angle alpha. Là encore, il suffit de prendre la coordonnée y du point P_t pour obtenir la tangente de l'angle alpha.

Pour représenter la cotangente sur le cercle, il nous faut encore une droite. Cette fois, il s'agira d'une droite passant par le point (0 ; 1) et parallèle à l'axe des abscisses x. Elle est de nouveau mise en évidence en bleu :

Cette droite coupe la demi-droite (le côté de l'angle) OB en un point, que l'on note P_k. La longueur du segment CP_k est alors égale à la cotangente de l'angle alpha. Comme toujours, il suffit de prendre la coordonnée x du point P_k pour obtenir la cotangente de l'angle.

Reste à savoir ce qui se passe lorsque l'angle alpha dépasse 90° pour la tangente, et 180° pour la cotangente : dans ces cas, la droite ne coupe pas le côté de l'angle, comme le montre la figure suivante :

On prolonge alors la demi-droite OB en droite, et cette droite coupe maintenant la droite p.

On procéderait de même pour la tangente.

Quand la tangente et la cotangente ne sont pas définies

Sur le cercle trigonométrique, on peut remarquer une chose intéressante. Si l'angle alpha vaut 180°, la droite p et le côté de l'angle ne se coupent jamais, car ils sont parallèles. Comment résoudre ce problème ? On ne le résout pas : la cotangente de 180° n'est pas définie. De même, la tangente de 90° n'est pas définie, car le côté est alors parallèle à l'axe des ordonnées y, donc aussi parallèle à la droite qu'il devrait couper. La figure suivante le montre au moins pour la cotangente.