Addition et soustraction
L’addition et la soustraction sont les opérations arithmétiques les plus élémentaires, dont on a besoin même dans la vie courante. Bien qu’on puisse additionner beaucoup de structures différentes, nous nous limiterons ici à l’addition des entiers relatifs.
Addition
L’addition se note avec le signe plus +. Pour additionner, on ajoute les termes : dans 2 + 3, le deux et le trois s’appellent les termes de la somme. Le résultat est la somme : dans 2 + 3 = 5, le cinq est la somme.
On peut additionner pratiquement tous les nombres, qu’il s’agisse d’entiers naturels comme 1, 5, 157, ou de négatifs comme -4, -74. On peut aussi additionner des nombres rationnels, c’est-à-dire des fractions, des nombres réels comme π, et enfin des nombres complexes. On peut encore additionner d’autres structures : des matrices ou des vecteurs.
L’addition s’explique habituellement avec un tas de pommes : si tu as trois pommes dans un panier et qu’on t’en donne quatre de plus, combien en auras-tu ? Tu en auras 3 + 4 = 7.
Comment additionner de grands nombres
Si je te demandais de calculer la somme de 17564 et 3272, tu ne trouverais sans doute pas le résultat de tête. On utilise donc une calculatrice, ou un crayon et du papier. Je ne vais pas t’expliquer comment taper cela sur une calculatrice ; concentrons-nous sur le calcul posé sur papier.
On écrit les nombres à additionner l’un sous l’autre, alignés à droite, de façon que les chiffres de même rang (dizaines, centaines, …) soient les uns sous les autres. Sous les deux nombres, on trace un trait horizontal. Cela donne :
On additionne maintenant les chiffres placés les uns sous les autres. Si la somme est inférieure à dix, on écrit simplement cette somme sous le trait. On procède de droite, en partant du rang le plus petit. On calcule donc d’abord 4 + 2, ce qui vaut six. Six est inférieur à dix, on écrit donc six sous le trait :
On continue avec 6 + 7. Cela fait 13, ce qui est plus grand que dix. Sous le trait, on n’écrit alors que le chiffre des unités, c’est-à-dire le trois (on retranche dix de treize).
Que devient la retenue que nous avons mise de côté ? Et que représente-t-elle ? On calcule maintenant la deuxième colonne en partant de la droite, celle des dizaines. En fait, on a additionné des dizaines, c’est-à-dire 60 + 70 = 130. On a donc gardé 30 et mis 100 de côté pour plus tard. Pour quand ? Pour l’étape suivante, la colonne suivante. À l’étape suivante, on arrive aux chiffres des centaines, et nous avons une centaine de plus, obtenue lors de l’addition des dizaines. Le plus simple est donc d’ajouter cette centaine à l’étape suivante.
Au lieu de calculer 5 + 2, on calcule donc 5 + 2 + 1, où la retenue représente la centaine reportée à l’étape précédente. Le résultat total est huit, inférieur à dix. On écrit donc le huit sous le trait.
Aucune retenue de milliers n’arrive à l’étape suivante, donc on calcule seulement 7 + 3 = 10. Ce nombre n’est pas inférieur à dix, on écrit donc sous le trait le dernier chiffre, et la retenue passe à la colonne suivante. On écrit donc un zéro sous le trait et on garde une retenue de dizaines de milliers pour l’étape suivante.
Dans la dernière colonne, il n’y a un chiffre que dans la première ligne. Dans la deuxième ligne, on imagine donc un zéro et on calcule 1 + 0, sans oublier d’ajouter la retenue de l’étape précédente : 1 + 0 + 1 = 2. On écrit le deux sous le trait.
L’algorithme se termine ici, et nous avons la somme 17564 + 3272.
Animation du calcul de l’addition posée
Tu peux saisir deux entiers naturels dans les cases suivantes, puis simplement admirer l’animation de tout le calcul.
Représentation graphique de l’addition
On peut représenter l’addition sur une droite numérique. La droite numérique est une droite sur laquelle sont repérés tous les nombres. Elle peut ressembler à ceci :
Si l’on voulait illustrer sur cette droite l’addition de deux nombres, par exemple 3+4, on procéderait ainsi : on tracerait un segment qui part de l’origine, c’est-à-dire de zéro, et se termine à trois. Pour une addition, on dirige le segment vers la droite à partir du point de départ. Ainsi :
On reporte maintenant le quatre sur la droite numérique. Cette fois, on part du trois et on trace depuis ce point un segment de longueur quatre vers la droite. Ainsi :
Le point où se termine le second segment, en vert, représente le résultat final : 3 + 4 = 7.
Soustraction
La soustraction est l’opération inverse de l’addition. Si l’on ajoute un nombre b à un nombre a, puis qu’on retranche ensuite b, on retrouve a. Montrons-le sur l’exemple 158 748 − 99 575. Comme pour l’addition, on écrit ces nombres l’un sous l’autre :
Le résultat s’écrit sous le trait, comme pour l’addition. On procède de droite, en commençant par les plus petits rangs. Si le chiffre du haut n’est pas plus petit que celui du bas, on écrit sous le trait la différence haut − bas. (Ou inversement : si le chiffre du bas est plus petit ou égal, on peut soustraire sans hésiter.) Au rang des unités, le chiffre du haut n’est pas plus petit, on écrit donc la différence 8 − 5 = 3.
On se décale d’un rang vers la gauche, on est au rang des dizaines. Cette fois, le chiffre du haut est plus petit que celui du bas. On ajoute donc dix au chiffre du haut et on effectue le même calcul : chiffre du haut + 10 − chiffre du bas. Le résultat vaut 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Pour soustraire les dizaines, nous avons donc emprunté dix dizaines, ce dont il faut se souvenir à l’étape suivante. Dix dizaines font une centaine, donc à l’étape suivante on soustrait une centaine de plus. Cela signifie qu’on ajoute la retenue de l’étape précédente au chiffre du bas, qui est le cinq.
On compare donc, au rang des centaines, le sept du haut avec le cinq + 1 du bas. Il n’est pas plus petit, on peut donc faire la soustraction habituelle, haut moins bas. Mais il faut aussi ajouter la retenue au chiffre du bas, ce qui donne au final 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
On ne reporte rien à l’étape suivante, car dans cette étape nous n’avons pas eu besoin d’emprunter aux rangs supérieurs. Au rang des milliers, on n’ajoute donc rien. Cependant, le huit du haut est plus petit que le neuf du bas, il faut donc ajouter une dizaine au chiffre du haut. On obtient la différence 8 + 10 − 9 = 9.
La retenue passe à l’étape suivante : on l’ajoute au chiffre du bas. Neuf plus un font dix, et le cinq du haut est plus petit que dix. On ajoute donc dix au chiffre du haut et on calcule la différence : 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Là encore, nous avons emprunté au rang supérieur, donc on reporte une retenue à l’étape suivante. Il manque un chiffre dans le nombre du bas à cet endroit, on suppose donc un zéro. En ajoutant la retenue, on obtient un. Le haut n’est pas plus petit que le bas (il est maintenant égal), on peut donc simplement soustraire : 1 − 1 = 0.
Voilà le résultat. On peut supprimer le zéro du début et écrire : 158 748 − 99 575 = 59 173.
Représentation graphique de la soustraction
On peut représenter la soustraction sur une droite numérique, comme l’addition. Seule différence : on change le sens du segment. On ne le trace pas vers la droite à partir du point courant, mais vers la gauche. Donc, pour calculer 2 − 5, on procéderait ainsi. On reporte d’abord le deux sur la droite numérique, dans le sens positif, car deux est positif. On soustrait cinq : ce nombre s’applique dans l’autre sens.
On trace maintenant sur la droite le second segment, qui représente moins cinq. On commence au point où l’on s’est arrêté, c’est-à-dire au deux, mais on trace le segment vers l’arrière, vers la gauche.
