Division des nombres
La division de nombres est l’opération inverse de la multiplication. Elle est aussi une bonne source d’humour, car, comme chacun sait, on ne peut pas diviser par zéro, sinon le cahier prendrait feu.
Qu’est-ce que la division de nombres
On peut se représenter la division comme le partage d’un grand tout en petites parts égales. Imaginons un papa qui doit scier une planche de 100 cm en cinq morceaux de même longueur. Quelle sera la longueur de chaque morceau ?
On peut aussi raisonner à l’envers : si l’on additionne les longueurs des cinq morceaux, on doit retrouver le nombre 100. Quel nombre le vérifie ? C’est le nombre 20, car 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Au lieu de l’addition, on peut aussi utiliser la multiplication : quel nombre, multiplié par cinq, donne cent ? Encore le nombre 20, car 5 · 20 = 100.
Graphiquement, on peut représenter cela comme le partage d’un segment de longueur 100 en cinq parties de même longueur :
Si l’on veut diviser le nombre 100 par le nombre 5, on cherche « combien de fois le nombre cinq tient dans le nombre cent ». La division s’écrit avec une barre oblique : 100 / 5, ou avec deux points : 100 : 5. Le résultat de la division de deux nombres est le quotient. Dans nos exemples, le nombre 20 est le quotient de 100 et de 5. Le nombre à gauche s’appelle le dividende, celui à droite le diviseur. On peut aussi écrire la division sous forme de fraction : au lieu de 100 / 5, on écrit
- a s’appelle le dividende,
- b s’appelle le diviseur,
- c s’appelle le quotient.
Définition à l’aide de la multiplication
On peut définir le quotient le plus simplement à l’aide de la multiplication. Prenons le quotient 35 / 7. Quel sera le résultat ? On cherche le nombre qui, multiplié par 7, donne 35. Si l’on divisait 48 / 8, on chercherait le nombre qui, multiplié par 8, donne 48.
Le résultat de 35 / 7 est donc le nombre 5, car 7 · 5 = 35. Le résultat de 48 / 8 est le nombre 6, car 8 · 6 = 48.
Si l’on divise en général a / b, le résultat est le nombre c pour lequel b · c = a.
Bien que tous nos exemples portent sur des nombres entiers naturels, la définition par la multiplication nous permet de diviser aussi tous les autres nombres. On peut par exemple trouver le quotient −85,76 / 6,7 en cherchant le nombre x tel que 6,7 · x = −85,76. C’est vrai pour x = −12,8.
Zéro divisé par un nombre
On peut diviser zéro par un nombre, c’est une expression valable : 0 / 15. En fait, cela revient à dire qu’on veut partager zéro en 15 parts égales. Imagine que tu n’aies aucun gâteau et que tu veuilles partager ce gâteau inexistant en 15 parts : quelle sera la taille de chaque part ? Elles seront nulles, puisqu’il n’y a tout simplement pas de gâteau. Ou imagine que tu as zéro euro dans ton portefeuille et que tu veux répartir ces zéro euro entre trois enfants. Combien chaque enfant recevra-t-il ? Que dalle, puisque tu n’as rien. Donc 0 / 15 = 0.
On peut diviser zéro par un autre nombre, mais on ne peut pas diviser un autre nombre par zéro. Cette expression n’est pas valable : 8 / 0.
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
On ne peut pas diviser par zéro, car le onzième commandement l’interdit.
Il existe aussi des raisons plus solides. Pour l’instant, intéressons-nous au cas où le dividende est différent de zéro, c’est-à-dire à une division de la forme a / 0, avec a ≠ 0. Voici deux raisons :
- Restons dans l’analogie du partage d’un tout en parts égales. Nous avons 15 Pokémon, les plus redoutables, et nous voulons les répartir entre zéro enfant. Combien de Pokémon chaque enfant recevra-t-il ?
Eh ???
Oui, tu lis bien l’énoncé, et oui, cela n’a aucun sens. On ne peut pas se demander combien de Pokémon a reçu chaque enfant quand on n’a aucun enfant à qui les donner. C’est pourquoi la division par zéro n’a pas de sens non plus, et l’on dit que l’expression x / 0 n’est pas définie.
- La division a été introduite à l’aide de la multiplication. Quand on tente de diviser 15 / 0, on cherche un nombre x tel que x · 0 = 15. Or tout nombre multiplié par zéro vaut zéro : on ne trouvera jamais de x qui rende cette équation vraie.
Et le quotient 0/0 ?
Il n’est pas défini non plus, tout comme x / 0. Les raisons :
Cette fois, on a zéro Pokémon, des plus redoutables, à répartir entre zéro enfant. C’est là encore une demande absurde.
Selon la définition de la division, quand on divise 0 / 0, on cherche un nombre x tel que x · 0 = 0. Or, on trouverait une solution, ou plus exactement : tout nombre réel est solution de cette équation. Que l’on substitue 4, 1 ou π à x, l’égalité est vérifiée. Il est évidemment impossible que le résultat de la division soit l’ensemble entier des nombres réels, cela n’a pas de sens.
Il faudrait alors choisir dans cet ensemble un seul nombre précis et dire que c’est le résultat de 0 / 0. Mais lequel ? Devrait-ce être un ? Huit ? Zéro ? Moins un ? Et pourquoi ? Essayons d’avancer des arguments pour zéro et pour un :
- On sait que si l’on a une fraction de la forme x / x, cette fraction vaut un. Par exemple 7 / 7 = 1 ou 3 / 3 = 1. On pourrait en déduire qu’il faudrait définir 0 / 0 de sorte que 0 / 0 = 1.
- Considérons cette suite de fractions tout à fait valables. Dans chacune d’elles, on divise zéro par un nombre de plus en plus proche de zéro :
On voit que, quel que soit le nombre proche de zéro par lequel on divise, le résultat du quotient reste zéro. On pourrait en déduire que 0 / 0 = 0.
Ce sont là deux arguments valables pour définir le quotient 0 / 0. Mais lequel est le meilleur ? Après tout, même si nous en choisissions un et le déclarions seul valable, nous nous heurterions de toute façon à une contradiction avec d’autres parties des mathématiques.
C’est pourquoi la division par zéro est laissée non définie.
Argument final contre la division par zéro
Si les arguments précédents ne te suffisent pas, la photographie suivante, qui documente un cas où quelqu’un a réellement tenté de diviser par zéro, te convaincra sans doute :
