Véges határérték végtelen pontban

A függvény határértéke a matematikai analízis egyik legfontosabb fogalma. Egy függvény viselkedését írja le egy adott pont környezetében, aminek köszönhetően például definiálhatjuk a függvény folytonosságát. A függvény határértéke segít megérteni a függvény viselkedését azokon a helyeken is, ahol egyáltalán nincs értelmezve.

Véges határérték végtelen pontban

Ez a helyzet hasonló a sorozatok határértékéhez. Azt keressük, mekkora a függvény határértéke, ha a végtelenhez közeledünk. A határérték lehet véges vagy végtelen. Kezdjük a véges határértékkel.

Legyen a ∞ az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Ekkor az L ∈ ℝ szám a függvény határértéke a ∞ pontban, ha

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

és a −∞ pontban, ha

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Mit mond nekünk a definíció? Hogy ha választunk valamilyen ϵ-környezetet a szándékolt L határérték körül (vagyis az y tengelyen), akkor mindig találunk az x tengelyen olyan A pontot, hogy ha bármelyik x pontot vesszük A-tól jobbra, vagyis x>A, akkor teljesül, hogy |f(x) − L| < ϵ, tehát az összes függvényérték kisebb, mint ϵ távolságra van az L határértéktől.

Vegyük az f(x) = (2/x) + 1 függvényt. Grafikon:

Látható, hogy ha az x értékkel a végtelenhez közeledünk, az f(x) függvényérték az egyhez közelít. Válasszuk tehát az L = 1 értéket. Most bebizonyítjuk, hogy az L = 1 valóban ennek a függvénynek a határértéke a plusz végtelenben. Először próbáljuk ki. Válasszunk valamilyen epszilont, például az $ϵ=\frac{1}{2}$ értéket. Most próbáljunk olyan A ∈ ℝ számot találni, hogy minden A-nál nagyobb x-re a függvényérték kisebb, mint ϵ távolságra legyen L-től. Vázoljuk fel ábrán:

Az, hogy az f(x) függvényérték kisebb, mint ϵ távolságra van az L ponttól, azt jelenti, hogy a függvény grafikonját leíró görbe a piros vonalak között van. Most meg kell találnunk az x tengelyen azt az A határt, amelytől kezdve ez a feltétel teljesül. Nem kell feltétlenül a lehető legkisebb határnak lennie, ezért választhatjuk például az A = 6 értéket.

Látjuk, hogy a grafikont leíró görbe az A határ után teljes egészében a piros vonalak között van, amelyek az L-től mért ϵ-távolságot jelölik. Ezt most egy konkrét ϵ-ra bebizonyítottuk, de hogy bebizonyítsuk, hogy az L = 1 valóban határérték, ezt minden ϵ > 0 értékre be kell tudnunk bizonyítani.

Most meg kell állapítanunk, milyen A-ra teljesül ez az összefüggés:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Behelyettesítés után:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Kivonhatjuk az egyeseket:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Továbbá feltehetjük, hogy csak pozitív x értékeket veszünk (azok az x értékek érdekelnek minket, amelyek a plusz végtelenhez közelítenek), így elhagyhatjuk az abszolút értéket:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Megszorozzuk x-szel:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Elosztjuk ϵ-nal:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Az átalakításokból megállapítottuk, hogy x-nek nagyobbnak kell lennie, mint 2/ϵ. Ha tehát A-nak olyan számot választunk, amely nagyobb, mint 2/ϵ, akkor megtaláltuk a keresett határt.

Az előző próbálkozásban az $ϵ=\frac{1}{2}$ értéket választottuk, ezért A-nak olyan számot kell választanunk, amely nagyobb, mint $2/\frac{1}{2}=4$. Mi az A = 6 értéket választottuk, ami rendben van.