Integral

Mengintegralkan fungsi adalah kebalikan dari menurunkan fungsi.

Antiturunan

Kita mulai dengan soal yang mudah. Diberikan fungsi f(x) = 2x. Sekarang kita cari fungsi F yang turunannya sama dengan fungsi f. Secara formal, kita mencari fungsi F sehingga berlaku F′ = f.

Dari rumus-rumus dasar turunan kita tahu bahwa fungsi itu adalah F(x) = x². Turunan fungsi x² memang sama dengan 2x. Pertanyaannya, apakah hanya fungsi ini yang memenuhi syarat tersebut?

Jawabannya tidak. Jika fungsi x² ditambah konstanta real berapa pun, turunannya tetap 2x, karena turunan konstanta adalah nol. Setiap fungsi berbentuk x² + c, dengan c konstanta real, dapat dianggap sebagai fungsi F yang kita cari.

Soal ini dapat diperumum. Diberikan fungsi real f, dan kita cari fungsi F yang memenuhi F′(x) = f(x) untuk semua x dari D_f, atau dari suatu interval di dalam daerah asal. Fungsi ini tidak harus tunggal, tetapi di sisi lain fungsi seperti itu juga belum tentu ada.

Fungsi F ini disebut antiturunan (fungsi primitif) dari fungsi f. Kita menuliskannya sebagai berikut:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Fungsi f disebut integran, dan proses mencari antiturunan disebut pengintegralan. Bentuk dx menyatakan variabel yang kita integralkan. Jika soalnya ditulis seperti ini

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

kita ingin mencari antiturunan fungsi 4x³ dan mengintegralkannya terhadap variabel x. Hasilnya bisa berupa fungsi x⁴, yang turunannya sama dengan 4x³. Tentu saja fungsi ini boleh ditambah konstanta real berapa pun.

Dapat dibuktikan bahwa antiturunan tidak ada atau selalu berbentuk F(x) + c, dengan c suatu konstanta real. Dalam kasus kedua, antiturunannya ada tak hingga banyaknya, karena ada tak hingga banyaknya konstanta real. Jadi, jika kita menemukan satu fungsi F(x), kita dapat memperoleh semua antiturunannya. Selain itu, tidak ada fungsi lain di luar fungsi yang diperoleh dengan cara ini yang merupakan antiturunan fungsi yang kita cari.

Sedikit lagi tentang bentuk dx. Kelihatannya sangat misterius, tetapi sebenarnya bentuk ini hanya menyatakan variabel yang kita integralkan. Misalnya, jika kita mempunyai integral

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

artinya kita mengintegralkan terhadap variabel b, sedangkan huruf-huruf lain, a dan c, diperlakukan sebagai konstanta. Keduanya berperilaku seperti bilangan biasa.

Integral fungsi-fungsi elementer

Rumus antiturunan beberapa fungsi elementer mudah dicari. Di seluruh bagian ini kita anggap c ∈ ℝ.

Kita mulai dengan fungsi f(x) = 0, yaitu fungsi nol. Fungsi apa yang turunannya sama dengan nol? Setiap fungsi yang hanya berupa konstanta:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Berikutnya fungsi f(x) = 1. Karena x′ = 1, integral fungsi 1 adalah

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Selanjutnya fungsi f(x) = x. Fungsi apa yang harus diturunkan agar hasilnya x? Jika kita menurunkan x², diperoleh 2x. Ini sudah hampir yang kita inginkan; tinggal dibagi 2. Jadi, jika kita menurunkan (x²)/2, diperoleh x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Jika diperumum untuk fungsi xⁿ dengan n ∈ ℝ, diperoleh rumus:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Perhatikan bahwa rumus ini tidak berlaku untuk n = −1, karena kita akan membagi dengan nol, dan itu tidak boleh. Jadi, untuk n = −1 kita memperoleh fungsi f(x) = x⁻¹, yaitu fungsi 1/x. Fungsi apa yang harus diturunkan agar hasilnya 1/x? Fungsi logaritma.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Masalahnya, logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan real positif, sehingga rumus ini tidak berlaku untuk semua x dari D_f. Namun, rumus ini berlaku pada interval (0, ∞). Untuk interval (−∞, 0), kita cukup membalik tanda argumen logaritma: ln(−x). Jika keduanya digabungkan, kita dapat menulis

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Rumus ini berlaku untuk semua x ∈ D_f. Integral lainnya, misalnya integral fungsi trigonometri, ada pada tabel berikut:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{untuk }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Integral jumlah

Menghitung turunan suatu fungsi biasanya cukup mudah dan bisa dikerjakan secara mekanis, karena kita cukup mengikuti rumus. Dengan integral, keadaannya lain. Cara menghitung integral jauh lebih rumit, sehingga mencari integral jauh lebih sulit daripada menghitung turunan. Penyebab utamanya adalah bahwa kita memang mempunyai rumus sederhana untuk integral jumlah, tetapi tidak untuk integral hasil kali.

Mari kita hitung integral berikut:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Bagaimana cara menghitungnya? Kita memerlukan fungsi yang turunannya x dan fungsi lain yang turunannya 1. Dari rumus-rumus tadi kita tahu bahwa fungsi-fungsi itu adalah (x²)/2 dan x. Jika kedua fungsi ini dijumlahkan, diperoleh f(x) = (x²)/2 + x. Turunan fungsi ini adalah x + 1. Jadi, hasilnya adalah:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Dalam perhitungan ini kita memakai satu sifat: integral jumlah sama dengan jumlah integral. Artinya,

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Sifat ini juga berlaku untuk pengurangan:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Karena itu, contoh sebelumnya dapat kita uraikan seperti ini:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Mengeluarkan konstanta

Sifat serupa berlaku untuk mengeluarkan konstanta ke depan tanda integral. Jika integralnya berbentuk

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

dengan a suatu konstanta real, konstanta ini dapat dikeluarkan ke depan tanda integral:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Contoh soal

Hitunglah integral berikut:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Pada langkah pertama, kita pecah menjadi tiga integral:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Integral-integral ini kita selesaikan satu per satu. Integral pertama dapat langsung diselesaikan dengan rumus untuk pangkat xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Pada integral kedua, angka 6 kita keluarkan lebih dulu:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Integral x sudah ada di tabel, hasilnya (x²)/2. Jadi, diperoleh:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Pada integral terakhir, kita juga mengeluarkan 42 lebih dulu:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Integral ini juga sudah ada di tabel:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Integral-integral bagian ini kita jumlahkan dan diperoleh hasilnya:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Satu catatan lagi: setiap integral bagian menghasilkan konstanta c, sehingga ketika dijumlahkan, seharusnya kita menulis +3c, bukan +c. Namun, c adalah konstanta real sembarang, sehingga 3c juga sama dengan suatu bilangan real. Kita bisa mengganti c pada integral-integral bagian dengan c₁, c₂, c₃, lalu menyatakan bahwa c = c₁ + c₂ + c₃.