Elips

Elips adalah irisan kerucut. Sifat dasar elips adalah setiap titik pada elips memiliki jumlah jarak yang sama ke dua titik tertentu pada bidang. Kedua titik ini disebut titik fokus.

Bentuk elips

Misalkan diberikan dua titik — E dan F, yaitu titik-titik fokus elips e. Untuk setiap titik X pada elips e haruslah berlaku

$$|XE|+|XF|=K,$$

dengan K suatu bilangan konstan. Bilangan ini sama untuk semua titik pada elips. Jika E = F, diperoleh lingkaran, dan |XE|+|XF| sama dengan diameter lingkaran (artinya |XE| harus sama dengan jari-jari lingkaran). Gambar elips:

Jumlah jarak yang sama ke titik-titik fokus berarti jumlah |EK|+|FK| harus sama dengan jumlah |EL|+|FL|, demikian pula untuk semua titik lain pada elips.

Unsur-unsur dan sifat-sifat elips

• Elips memiliki dua titik fokus, sebut saja E dan F.
• Elips memiliki dua titik puncak pada sumbu mayor, A dan B, dan dua titik puncak pada sumbu minor, C dan D.
• Pusat elips, pada gambar titik O, terletak di titik tengah ruas garis EF, yaitu di antara kedua titik fokus.
• Garis yang melalui titik-titik puncak pada sumbu mayor (dan juga melalui titik-titik fokus) disebut sumbu mayor elips, sedangkan garis yang melalui titik-titik puncak lainnya disebut sumbu minor elips.
• Ruas garis yang menghubungkan salah satu titik puncak pada sumbu mayor dengan pusat elips disebut setengah sumbu mayor. Pada gambar, ruas garis ini adalah AO dan BO.
• Ruas garis yang menghubungkan salah satu titik puncak pada sumbu minor dengan pusat elips disebut setengah sumbu minor. Pada gambar, ruas garis ini adalah CO dan DO.
• Konstanta K, yaitu jumlah jarak suatu titik pada elips ke kedua titik fokus, sama dengan panjang ruas garis AB. Hal ini mudah dilihat jika kita menghitung jumlah tersebut untuk titik B. Untuk titik B, jumlahnya adalah |FB|+|EB|. Ruas garis EB menutupi hampir seluruh ruas garis AB, dan bagian sisanya, yaitu ruas garis AE, sama panjang dengan ruas garis FB. Karena itu, |FB|+|EB| = |AB|.

Jarak fokus ke pusat

Konstanta penting lainnya pada elips adalah jarak titik fokus ke pusat elips, yang di sini kita tandai dengan e, yaitu e = |EO| = |FO|. (Hati-hati: di buku sekolah Indonesia, jarak ini biasanya ditandai dengan huruf c, dan yang disebut eksentrisitas adalah perbandingan c/a, yaitu jarak ini dibagi panjang setengah sumbu mayor. Di artikel ini, huruf e selalu berarti jarak, bukan perbandingan.) Bagaimana cara menghitungnya? Pertama, kita cari panjang |ED| dan |FD|.

Kita tahu bahwa jumlah K sama dengan panjang |AB|. Dari gambar terlihat bahwa ruas garis ED dan FD sama panjang, karena garis CD adalah sumbu simetri elips. Jadi, panjang kedua ruas garis sama dengan setengah panjang |AB|, yaitu panjang setengah sumbu mayor elips. Jika panjang setengah sumbu mayor kita sebut a dan panjang setengah sumbu minor b, diperoleh gambar berikut:

Jarak fokus ke pusat kemudian dapat dinyatakan dengan teorema Pythagoras sebagai

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Makin mirip elips dengan lingkaran, yaitu makin kurang pipih, makin kecil jarak ini.

Persamaan elips

Bagaimana cara memperoleh persamaan elips? Pertama, kita memerlukan elips yang “bagus”. Jadi, kita pilih elips yang sumbu mayor dan sumbu minornya sejajar dengan sumbu x dan y, dan pusatnya terletak di titik asal sistem koordinat, yaitu di titik (0, 0). Elips seperti itu terlihat, misalnya, seperti ini:

Pertanyaannya, bagaimana menyatakan secara umum titik X yang pada gambar ditandai dengan warna biru. Dari definisi elips, haruslah berlaku:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Karena panjang ruas garis AB sama dengan dua kali panjang setengah sumbu mayor a, kita dapat menuliskan:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Selanjutnya, kita harus menyatakan panjang ruas garis EX dan FX. Kita mulai dengan ruas garis FX. Pada gambar kita tambahkan dua ruas garis lagi sehingga terbentuk segitiga siku-siku.

Titik X memiliki koordinat (x, y), jadi panjang ruas garis HX sama dengan koordinat y titik X, yaitu |HX| = y. Panjang HF sama dengan |e − x|. Menurut teorema Pythagoras, haruslah berlaku:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Seperti saat menyatakan |FX|, kita nyatakan juga |EX|. Panjang HX sama, yaitu y, dan panjang HE sama dengan x + e. Diperoleh:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Bentuk-bentuk baru ini kita substitusikan ke persamaan sebelumnya:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Selanjutnya diperlukan banyak sekali langkah penyederhanaan, sampai akhirnya diperoleh bentuk yang bagus ini:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Namun, persamaan ini hanya berlaku untuk elips yang berpusat di titik asal. Untuk memperoleh persamaan yang lebih umum, koordinat pusat elips juga harus dimasukkan ke persamaan. Elips yang berpusat di titik (m, n) memiliki persamaan:

Jika sumbu mayornya sejajar dengan sumbu x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Jika sumbu mayornya sejajar dengan sumbu y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Contoh: agar kamu yakin bahwa persamaan ini benar-benar berlaku, mari kita substitusikan titik X dari gambar. Untuk gambar tersebut, a = 5, b = 4 dan X(2,31; 3,55) (koordinat titiknya dibulatkan, jadi hasil akhirnya juga harus dibulatkan). Dengan menyubstitusikan ke ruas kiri persamaan, diperoleh:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Jadi, diperoleh kesamaan 1 = 1.

Kalkulator

Masukkan panjang setengah sumbu mayor dan setengah sumbu minor. Luas elips adalah π · a · b. Keliling elips tidak dapat dihitung dengan rumus eksak, jadi kalkulator menggunakan rumus hampiran Ramanujan, yang hasilnya hanya sedikit berbeda dari nilai sebenarnya.