Rumus proyeksi pada segitiga siku-siku

Matematikawan Aleksandria kuno, Eukleides, menyusun dua teorema tentang segitiga, tepatnya tentang garis tinggi dan sisi siku-siku. Di buku sekolah Indonesia, keduanya biasanya tidak disebut dengan nama Eukleides, tetapi dikenal sebagai rumus proyeksi pada segitiga siku-siku.

Rumus garis tinggi (teorema Eukleides tentang tinggi)

Rumus ini hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Perhatikan keadaan dasarnya:

Diberikan segitiga ABC, sisi c adalah sisi miring, dan ruas garis t_c adalah garis tinggi pada sisi c. Titik P_c membagi sisi c menjadi dua ruas garis: ruas garis AP_c kita sebut c_b, dan ruas garis BP_c kita sebut c_a. Kedua ruas garis ini adalah proyeksi sisi siku-siku b dan a pada sisi miring.

Rumus garis tinggi menyatakan bahwa berlaku hubungan

$$t_c^2=c_a\cdot c_b,$$

dengan t_c panjang ruas garis t_c, dan seterusnya. Dengan kata lain: jika kita membuat persegi dengan panjang sisi t_c dan persegi panjang dengan panjang sisi c_a dan c_b, kedua bangun itu luasnya sama. Perhatikan gambar berikut, yang menandai persegi dan persegi panjang tersebut:

Rumus garis tinggi menyatakan bahwa kedua bangun ini luasnya sama. Persegi merah memiliki panjang sisi t_c, sedangkan persegi panjang hijau memiliki panjang sisi c_a dan c_b.

Rumus sisi siku-siku (teorema Eukleides tentang sisi siku-siku)

Rumus kedua ini juga berlaku pada segitiga siku-siku. Kita tetap menggunakan gambar segitiga yang pertama:

Rumus kedua menyatakan bahwa

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Jika kita membuat persegi dengan panjang sisi a, persegi ini luasnya sama dengan persegi panjang yang panjang sisinya c dan c_a. Persegi dan persegi panjang tersebut dapat kamu lihat pada gambar berikut: