Đường elip

Đường elip là một đường conic. Tính chất cơ bản của elip là mọi điểm của nó có cùng tổng khoảng cách đến hai điểm cho trước trong mặt phẳng. Hai điểm này gọi là tiêu điểm.

Hình dạng của đường elip

Cho hai điểm E và F là hai tiêu điểm của một đường elip. Khi đó với mọi điểm X của elip ta có

$$XE+XF=K,$$

trong đó K là một hằng số. Số này như nhau với mọi điểm của elip. Nếu E = F thì ta được đường tròn, và XE + XF bằng đường kính của đường tròn (tức là XE phải là bán kính của đường tròn). Hình vẽ đường elip:

Tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi nghĩa là tổng EK + FK phải bằng tổng EL + FL, và cũng như vậy với mọi điểm khác nằm trên elip.

Mô tả và tính chất của đường elip

• Elip có hai tiêu điểm, kí hiệu là E và F.
• Elip có hai đỉnh trên trục lớn, A và B, và hai đỉnh trên trục nhỏ, C và D.
• Tâm của elip, trên hình là điểm O, là trung điểm của đoạn thẳng EF, tức là nằm giữa hai tiêu điểm.
• Đường thẳng đi qua hai đỉnh trên trục lớn (và cả hai tiêu điểm) gọi là trục lớn của elip, đường thẳng đi qua hai đỉnh trên trục nhỏ gọi là trục nhỏ của elip.
• Đoạn thẳng nối một đỉnh trên trục lớn với tâm elip gọi là bán trục lớn. Trên hình là các đoạn thẳng AO và BO.
• Đoạn thẳng nối một đỉnh trên trục nhỏ với tâm elip gọi là bán trục nhỏ. Trên hình là các đoạn thẳng CO và DO.
• Hằng số K, tức tổng khoảng cách từ một điểm của elip đến hai tiêu điểm, bằng độ dài đoạn thẳng AB. Điều này thấy rõ khi tính tổng cho điểm B. Với điểm B, tổng có dạng: FB + EB. Đoạn thẳng EB phủ gần hết đoạn thẳng AB, phần còn lại là đoạn thẳng AE dài bằng đoạn thẳng FB. Do đó FB + EB = AB.

Nửa tiêu cự của đường elip

Một hằng số quan trọng khác của elip là khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm, tức là nửa tiêu cự. Bài này kí hiệu nửa tiêu cự là e như trên hình (sách giáo khoa kí hiệu là c). Lưu ý: sách giáo khoa dùng chữ e cho “tâm sai”, tức là tỉ số $\frac{c}{a}$, một đại lượng khác. Như vậy e = EO = FO. Tính nửa tiêu cự như thế nào? Trước hết tìm khoảng cách ED và FD.

Ta biết tổng K bằng độ dài AB. Mặt khác, trên hình thấy rõ hai đoạn thẳng ED và FD dài bằng nhau, vì đường thẳng CD là trục đối xứng của elip. Do đó mỗi đoạn thẳng dài bằng một nửa độ dài AB, tức là bằng độ dài bán trục lớn của elip. Nếu kí hiệu độ dài bán trục lớn là a và độ dài bán trục nhỏ là b, ta được hình sau:

Khi đó theo định lí Pythagore, nửa tiêu cự bằng

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Elip càng giống đường tròn, tức là càng ít dẹt, thì nửa tiêu cự càng nhỏ.

Phương trình đường elip

Làm thế nào để lập phương trình đường elip? Trước hết cần một elip “đẹp”, nên ta chọn elip có trục lớn và trục nhỏ song song với hai trục toạ độ và tâm nằm ở gốc toạ độ, tức là có toạ độ (0; 0). Một elip như vậy trông chẳng hạn như sau:

Câu hỏi đặt ra là biểu diễn tổng quát điểm X, điểm màu xanh dương trên hình, như thế nào. Theo định nghĩa elip, ta có:

$$EX+FX=AB$$

Vì độ dài đoạn thẳng AB bằng hai lần độ dài bán trục lớn a nên có thể viết:

$$EX+FX=2a$$

Tiếp theo cần biểu diễn độ dài các đoạn thẳng EX và FX. Bắt đầu với đoạn thẳng FX. Vẽ thêm hai đoạn thẳng vào hình để được một tam giác vuông.

Điểm X có toạ độ (x; y), nên độ dài đoạn thẳng HX bằng tung độ của điểm X, tức là HX = y. Độ dài HF bằng |e − x|. Theo định lí Pythagore:

$$FX=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Biểu diễn EX tương tự như FX. Độ dài HX vẫn là y, còn độ dài HE bằng x + e. Ta được:

$$EX=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Thay các biểu thức mới này vào phương trình ở trên:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Sau đó là một loạt phép biến đổi, cuối cùng ta được dạng đẹp sau (phương trình chính tắc của elip):

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Tuy nhiên phương trình này chỉ dùng cho elip có tâm ở gốc toạ độ. Để có phương trình tổng quát hơn, cần đưa toạ độ tâm của elip vào phương trình. Đường elip có tâm (m; n) có phương trình:

Nếu trục lớn song song với trục hoành:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Nếu trục lớn song song với trục tung:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Ví dụ: để kiểm tra phương trình đúng, thử thay điểm X trên hình vào. Trên hình có a = 5, b = 4 và X(2,31; 3,55) (toạ độ của điểm đã được làm tròn, nên kết quả cuối cùng cũng phải làm tròn). Thay vào vế trái của phương trình, ta được:

$$\frac{2,{31}^2}{5^2}+\frac{3,{55}^2}{4^2}=\frac{\mathrm{5,336}1}{25}+\frac{\mathrm{12,602}5}{16}=\mathrm{0,213}444+\mathrm{0,787}65625\approx 1$$

Như vậy ta được đẳng thức 1 = 1.

Máy tính

Nhập độ dài bán trục lớn và bán trục nhỏ. Diện tích elip bằng π · a · b. Chu vi elip không có công thức chính xác, nên máy tính dùng công thức xấp xỉ của Ramanujan, sai khác rất nhỏ so với giá trị thực.