Hiperbola

Hiperbola adalah irisan kerucut. Untuk setiap titik pada hiperbola berlaku bahwa nilai mutlak selisih jaraknya ke dua titik tetap selalu sama. Omong-omong, dalam bahasa Indonesia, hiperbola juga merupakan nama majas yang melebih-lebihkan.

Bentuk hiperbola

Definisi tadi terdengar agak menakutkan, jadi pertama-tama perhatikan gambar hiperbola berikut:

Perhatikan bahwa berbeda dengan irisan kerucut lain seperti elips atau parabola, hiperbola terdiri atas dua kurva. Apa arti definisi tadi? Diberikan dua titik fokus, F₁ dan F₂. Untuk setiap titik X pada hiperbola, nilai mutlak selisih |XF₁|−|XF₂| harus selalu sama.

Pada gambar terdapat dua titik, X₁ dan X₂. Untuk X₁, selisihnya adalah |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, dan nilai mutlaknya 2. Nilai yang sama seharusnya diperoleh untuk X₂. Mari kita coba: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, nilai mutlaknya 2 (bahwa panjang sisi X₂F₂ sama dengan lima dapat kamu hitung, misalnya, dengan teorema Pythagoras).

Jika cara ini diterapkan pada semua titik hiperbola, hasilnya selalu 2.

Unsur-unsur hiperbola

Perhatikan gambar hiperbola tadi yang dilengkapi keterangan:

• Titik F₁ dan F₂ disebut titik fokus.
• Titik O disebut pusat hiperbola dan terletak di titik tengah ruas garis F₁F₂.
• Garis F₁F₂ disebut sumbu nyata (sumbu transversal) hiperbola. Garis yang tegak lurus terhadap sumbu ini di titik O disebut sumbu imajiner hiperbola.
• Titik potong hiperbola dengan sumbu nyata disebut puncak hiperbola, pada gambar titik A dan B.
• Setiap ruas garis AO dan BO disebut setengah sumbu nyata hiperbola. Panjangnya kita tandai dengan a.
• Panjang setengah sumbu imajiner hiperbola kita tandai dengan b.
• Jarak titik fokus ke pusat kita tandai dengan e (hati-hati: di buku sekolah Indonesia jarak ini biasanya ditandai c, dan eksentrisitas adalah perbandingan c/a, bukan jarak). Berlaku hubungan:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Agar lebih jelas dari mana panjang setengah sumbu imajiner b berasal, perhatikan satu gambar lagi:

Ini adalah hiperbola yang sama, kini terutama dilengkapi asimtot, yaitu dua garis ungu yang berpotongan, a₁, a₂, yang melalui pusat O. Setengah sumbu nyata a tetap sama, yaitu ruas garis AO. Sekarang pada asimtot kita letakkan titik D sehingga jarak |OD| sama dengan jarak fokus ke pusat e. Panjang ruas garis AD adalah panjang setengah sumbu imajiner hiperbola. Seperti terlihat pada gambar, terbentuk segitiga siku-siku, sehingga kita dapat menggunakan teorema Pythagoras, dan berlaku hubungan

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Lingkaran pada gambar berpusat di titik O dan hanya menunjukkan bahwa panjang |F₁O| (jarak fokus ke pusat) sama dengan panjang |OD|.

Persamaan hiperbola

Pada hiperbola, kita membedakan dua kasus, bergantung pada apakah sumbu nyata hiperbola sejajar dengan sumbu x atau dengan sumbu y. Misalkan pusat hiperbola O memiliki koordinat (m, n).

• Sumbu nyata sejajar dengan sumbu x:

Persamaan:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Sumbu nyata sejajar dengan sumbu y:

Persamaan:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$