타원

타원은 원뿔곡선이다. 타원의 기본 성질은 타원 위의 모든 점에서 평면 위의 주어진 두 점까지의 거리의 합이 같다는 것이다. 이 두 점을 초점이라고 한다.

타원의 생김새

두 점 E와 F가 타원 e의 초점이라고 하자. 그러면 타원 e 위의 모든 점 X에 대해 다음이 성립해야 한다.

$$\overline{XE}+\overline{XF}=K,$$

여기서 K는 어떤 상수이다. 즉 이 수는 타원 위의 모든 점에서 같다. E = F이면 원이 되고, $\overline{XE}+\overline{XF}$는 원의 지름과 같다(즉 $\overline{XE}$는 원의 반지름이어야 한다). 타원의 그림은 다음과 같다.

두 초점까지의 거리의 합이 같다는 것은 합 $\overline{EK}+\overline{FK}$가 합 $\overline{EL}+\overline{FL}$과 같아야 하고, 타원 위의 다른 모든 점에서도 마찬가지라는 뜻이다.

타원의 요소와 성질

• 타원에는 초점이 두 개 있다. 이를 E와 F라고 하자.
• 타원에는 장축의 꼭짓점 A와 B, 단축의 꼭짓점 C와 D가 있다.
• 타원의 중심(그림에서 점 S)은 선분 EF의 중점, 즉 두 초점의 한가운데에 있다.
• 장축의 꼭짓점(과 두 초점)을 지나는 직선을 타원의 장축, 단축의 꼭짓점을 지나는 직선을 타원의 단축이라고 한다. (한국의 교과서에서는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 장축, 단축이라고 한다.)
• 장축의 한 꼭짓점과 타원의 중심을 잇는 선분의 길이는 장축의 길이의 절반이다. 그림에서는 선분 AS와 BS이다.
• 단축의 한 꼭짓점과 타원의 중심을 잇는 선분의 길이는 단축의 길이의 절반이다. 그림에서는 선분 CS와 DS이다.
• 타원 위의 점과 두 초점을 이은 선분의 길이의 합인 상수 K는 선분 AB의 길이와 같다. 점 B에서 합을 구해 보면 잘 알 수 있다. 점 B에서 합은 $\overline{FB}+\overline{EB}$이다. 선분 EB는 선분 AB의 거의 전부를 덮고, 나머지 부분인 선분 AE는 선분 FB와 길이가 같다. 따라서 $\overline{FB}+\overline{EB}=\overline{AB}$이다.

중심에서 초점까지의 거리

타원에서 또 하나 중요한 상수는 중심에서 초점까지의 거리이고, e로 나타낸다(선형 이심률이라고도 한다). 이 거리는 두 초점과 타원의 중심 사이의 거리, 즉 $e=\overline{ES}=\overline{FS}$이다. 이 값은 어떻게 구할까? 먼저 거리 $\overline{ED}$와 $\overline{FD}$가 얼마인지 알아낸다.

합 K가 길이 $\overline{AB}$와 같다는 것은 알고 있다. 그런데 그림을 보면 직선 CD가 타원의 대칭축이므로 선분 ED와 FD의 길이가 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 두 선분의 길이는 모두 길이 $\overline{AB}$의 절반, 즉 장축의 길이의 절반이다. 장축의 길이의 절반을 a, 단축의 길이의 절반을 b라고 하면 다음 그림을 얻는다.

이제 피타고라스 정리로 이 거리를 나타낼 수 있다.

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

타원이 원에 가까울수록, 즉 덜 납작할수록 이 거리는 작다.

타원의 방정식

타원의 방정식은 어떻게 이끌어 낼까? 먼저 다루기 쉬운 타원이 필요하다. 그래서 장축과 단축이 각각 x축, y축에 평행하고 중심이 원점, 즉 좌표가 (0, 0)인 점에 있는 타원을 고른다. 이런 타원은 예를 들어 다음과 같다.

문제는 그림에 파란색으로 표시한 점 X를 일반적으로 어떻게 나타내느냐이다. 타원의 정의에 따라 다음이 성립해야 한다.

$$\overline{EX}+\overline{FX}=\overline{AB}$$

선분 AB의 길이는 장축의 길이의 절반 a의 두 배이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\overline{EX}+\overline{FX}=2a$$

다음으로 선분 EX와 FX의 길이를 어떻게든 나타내야 한다. 선분 FX부터 시작하자. 그림에 선분 두 개를 더 그려 직각삼각형을 만든다.

점 X의 좌표는 (x, y)이므로 선분 PX의 길이는 점 X의 y좌표와 같다. 즉 $\overline{PX}=y$이다. 길이 PF는 |e − x|이다. 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립해야 한다.

$$\overline{FX}=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

$\overline{FX}$를 나타낸 것과 같은 방법으로 $\overline{EX}$도 나타낸다. 길이 PX는 이번에도 y이고, 길이 PE는 x + e이다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\overline{EX}=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

이 새로운 식을 앞의 식에 대입한다.

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

이제 식을 꽤 많이 변형하면 마침내 다음의 깔끔한 꼴을 얻는다.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

하지만 이 방정식은 중심이 원점인 타원에 대한 것이다. 더 일반적인 방정식을 얻으려면 타원의 중심의 좌표도 방정식에 넣어야 한다. 중심이 점 (m, n)인 타원의 방정식은 다음과 같다.

장축이 x축에 평행하면 다음과 같다.

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

장축이 y축에 평행하면 다음과 같다.

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

예: 이 방정식이 정말 성립한다는 것을 믿을 수 있도록 그림의 점 X를 대입해 보자. 그림에서 a = 5, b = 4이고 X(2.31, 3.55)이다(점의 좌표는 반올림한 값이므로 결과도 마지막에 반올림해야 한다). 좌변에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\frac{{2.31}^2}{5^2}+\frac{{3.55}^2}{4^2}=\frac{5.3361}{25}+\frac{12.6025}{16}=0.213444+0.78765625\fallingdotseq 1$$

이렇게 해서 1 = 1을 얻었다.

계산기

장축의 길이의 절반과 단축의 길이의 절반을 입력하자. 타원의 넓이는 π · a · b이다. 타원의 둘레는 정확한 공식으로 구할 수 없으므로, 계산기는 실제 값과 아주 조금만 다른 라마누잔의 근사 공식을 쓴다.