Integral parsial

Integral parsial (dalam bahasa Latin per partes, artinya “bagian demi bagian”) dipakai ketika kita ingin mencari antiturunan fungsi yang berbentuk hasil kali.

Penurunan rumus

Penurunan rumus ini didasarkan pada rumus turunan yang sudah kita kenal.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Misalkan diberikan fungsi u dan v yang dapat diturunkan pada suatu interval J, artinya u′ dan v′ ada. Sekarang kedua ruas kita integralkan. Diperoleh:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Pada ruas kiri, integral dan turunan dapat dihilangkan, karena jika suatu fungsi diturunkan lalu diintegralkan kembali, kita memperoleh fungsi semula (hanya berbeda sebuah konstanta c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Integral yang memuat turunan fungsi v kita pisahkan di satu ruas:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Jadi, fungsi $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ adalah antiturunan fungsi u · v′. Hal inilah yang akan kita manfaatkan.

Contoh pertama

Dengan contoh berikut kita lihat cara memakai integral parsial. Kita hitung integral

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Soal seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara biasa yang sudah dibahas dalam artikel dasar tentang integral. Karena fungsinya berbentuk hasil kali, kita pakai integral parsial.

Dalam rumus

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

ada fungsi u dan v, dan keduanya harus kita pilih dengan tepat. Apa yang sebenarnya diminta? Dengan rumus di atas kita dapat menghitung integral $\int u\cdot v^{\prime }$. Namun, soalnya tidak berbentuk seperti itu. Soalnya memuat x · cos x, dan tidak ada turunan v seperti yang diminta rumus. Jadi, fungsi x · cos x harus kita uraikan menjadi hasil kali dua fungsi. Salah satu fungsi kita sebut u, dan yang lain v′.

Pilihan yang tepat sangat penting, karena pilihan yang salah justru membuat penyelesaiannya lebih rumit. Perhatikan apa yang kita peroleh di ruas kanan jika rumus tadi dipakai. Bentuk u · v tidak menjadi masalah, tetapi kita harus menghitung integral $\int u^{\prime }\cdot v$. Jadi, kita harus dapat menurunkan fungsi u dan mengintegralkan fungsi v′.

Kita pilih fungsi-fungsinya seperti ini:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Dengan begitu kita memperoleh ruas kiri persamaan, karena integral di ruas kiri memuat hasil kali u · v′. Di ruas kanan ada hasil kali u · v dan sebuah integral lagi. Jadi, kita harus menghitung u′ dan v. Turunan u mudah:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Sekarang dari v′ kita hitung v, yaitu kita integralkan v′. Sekali lagi: kita memilih v′ = cos x. Namun, di ruas kanan persamaan kita bekerja dengan v, tanpa turunan. Dengan kata lain, jika v yang ada pada integran di ruas kanan diturunkan, kita harus memperoleh v′ yang kita pilih di ruas kiri. Jadi, kita mencari fungsi yang turunannya sama dengan cos x, atau dengan kata lain, kita mengintegralkan v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Apa yang sudah kita ketahui kita tuliskan dalam tabel:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Nilai-nilai dari tabel ini kita substitusikan ke dalam rumus

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

sehingga diperoleh:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Terlihat bahwa kita berhasil mengubah integral menjadi bentuk lain yang lebih mudah diselesaikan. Bentuk x · sin x tidak perlu diubah lagi; kita tinggal menghitung integral di sebelah kanan. Integral ini sudah ada di tabel:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Jadi, kita dapat menuliskan

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Itulah hasilnya.

Pilihan fungsi yang salah

Dengan contoh yang sama, mari kita lihat apa yang terjadi jika fungsi u dan v′ dipilih secara lain. Tadi kita memilih

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

jadi sekarang kita coba sebaliknya:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Kita hitung u′ dan v. Diperoleh:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Sekarang kita integralkan v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Kita tuliskan dalam tabel:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Substitusikan ke dalam rumus:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Terlihat bahwa cara ini tidak banyak membantu. Soalnya adalah integral x · cos x, dan dengan integral parsial kita sekarang sampai pada integral $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Bukan begini caranya.

Cara memilih fungsi u dan v'

Sayangnya, tidak ada aturan yang berlaku umum; kamu memerlukan sedikit kepekaan. Akan membantu juga jika kamu melihat apa yang selanjutnya harus dilakukan dengan fungsi-fungsi tersebut. Rumus dasar yang kita pakai adalah:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Jika kita mengintegralkan fungsi f yang berbentuk hasil kali, kita berusaha menguraikannya menjadi fungsi u dan v′ sehingga f = u · v′. Tujuan integral parsial adalah membuat integral di ruas kanan, $\int u^{\prime }\cdot v$, lebih sederhana daripada integral di ruas kiri. Bentuk u · v tidak terlalu penting; bentuk ini boleh serumit apa pun.

Agar integral di ruas kanan lebih sederhana, sebaiknya u dipilih berupa fungsi yang menjadi lebih sederhana setelah diturunkan. Biasanya fungsi seperti xⁿ, yang pangkatnya turun satu setelah diturunkan. Misalnya, dari x² diperoleh 2x, dan dari x diperoleh 1, yang paling ideal.

Sebaliknya, untuk v′ kita berusaha memilih fungsi yang tidak menjadi lebih rumit setelah diintegralkan. Biasanya kita tidak dapat berharap bahwa integral v′ lebih sederhana, tetapi kita dapat berharap integralnya kurang lebih sama rumitnya. Contoh khasnya adalah sinus dan kosinus, karena integral yang satu menghasilkan yang lain, dan hal itu tidak menjadi masalah.

Contoh kedua

Mari kita coba contoh yang lebih rumit:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Integral fungsi e^x adalah e^x lagi, sehingga fungsi ini calon yang ideal untuk diintegralkan. Sebaliknya, turunan x² adalah 2x, yang lebih sederhana. Jadi, kita pilih fungsi-fungsinya seperti ini:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Tabel lengkapnya seperti ini:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Substitusikan ke dalam rumus:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Kita memperoleh integral yang lebih sederhana, tetapi masih belum dapat kita hitung sepenuhnya. Kita lakukan integral parsial sekali lagi. Sekarang kita hitung integral berikut:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Langkahnya sama seperti sebelumnya. Kita pilih fungsi-fungsinya seperti ini:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Diperoleh:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Angka 2 kita keluarkan ke depan tanda integral:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Integral e^x adalah e^x lagi:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Hasil ini kita substitusikan kembali ke persamaan sebelumnya:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Setelah substitusi diperoleh:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Sekarang hasilnya tinggal kita rapikan. Pertama, tanda kurung kita hilangkan dengan mengalikan isinya dengan −1, lalu kita keluarkan e^x:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Selesai, inilah hasilnya.

Integral logaritma

Integral ini adalah contoh klasik integral parsial. Perhatikan soal legendaris berikut:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Yang menarik dari integral ini, meskipun tidak ada hasil kali, kita akan menyelesaikannya dengan integral parsial. Caranya sederhana: logaritma kita kalikan dengan 1. Fungsi yang diintegralkan tidak berubah, tetapi sekarang ada perkalian.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Bagaimana memilih fungsi u dan v′? Kita belum dapat mengintegralkan fungsi ln x (integral itulah yang sedang kita cari), jadi logaritma akan kita turunkan, sedangkan angka 1 kita integralkan. Diperoleh:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Turunan logaritma adalah 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

dan integral 1 adalah x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Kita lengkapi tabelnya:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Lalu kita substitusikan ke dalam rumus:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Kita hitung integral di ruas kanan:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Jadi, hasilnya adalah:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$