Persamaan garis singgung

Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh grafik fungsi di satu titik dan di titik itu mempunyai kemiringan yang sama dengan grafik. Di dekat titik tersebut, garis singgung menempel pada grafik begitu rapat sehingga hampir tidak dapat dibedakan darinya. Mari kita lihat contohnya pada parabola, yaitu grafik fungsi f(x) = x²:

Garis merah t adalah garis singgung di titik T(1, 1). Garis putus-putus abu-abu melalui titik yang sama, tetapi kemiringannya berbeda. Karena itu, garis tersebut memotong grafik dan sedikit di sebelahnya bertemu lagi dengan grafik. Jadi, garis itu bukan garis singgung.

Soalnya biasanya seperti ini: diberikan suatu fungsi dan sebuah titik pada grafiknya, lalu kita diminta menentukan persamaan garis singgung di titik tersebut, yaitu persamaan garis berbentuk y = kx + q. Untuk menentukan persamaan garis, kita memerlukan dua hal:

• titik yang dilalui garis,
• gradien k, yaitu bilangan yang menyatakan seberapa miring garis tersebut.

Titiknya sudah diketahui. Titik itu terletak pada grafik, jadi jika absisnya x₀, ordinatnya adalah f(x₀). Untuk gradien, kita memakai turunan: turunan fungsi di suatu titik sama dengan gradien garis singgung di titik itu. Selanjutnya tinggal menyusun persamaan garis dari titik dan gradien tersebut.

Garis melalui satu titik dengan gradien tertentu

Garis yang bergradien k dan melalui titik (x₀, y₀) mempunyai persamaan

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

Hal ini mudah diperiksa: jika x diganti dengan x₀, ruas kanan bernilai nol, sehingga y = y₀ dan titik tersebut terletak pada garis. Bilangan di depan tanda kurung adalah gradiennya, karena setelah tanda kurung dijabarkan, kita memperoleh persamaan garis bentuk gradien y = kx + q dengan k di tempat yang tepat.

Untuk garis singgung, ordinat titik singgungnya y₀ = f(x₀), dan gradiennya adalah turunan, k = f'(x₀).

Rumus

Jika kamu hanya mencari rumusnya, persamaan garis singgung grafik fungsi f di titik (x₀, f(x₀)) adalah

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

dengan x₀ absis titik singgung dan f'(x₀) turunan fungsi f di titik tersebut. Rumus ini mengandaikan bahwa turunan di titik x₀ ada. Jika tidak ada, garis singgung tidak dapat ditentukan dengan cara ini.

Jadi, seluruh langkahnya terdiri atas tiga tahap:

1. hitung f(x₀),
2. turunkan fungsinya dan hitung f'(x₀),
3. substitusikan kedua bilangan ke dalam rumus dan sederhanakan.

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi f(x) = x² di titik x₀ = 1, yaitu garis singgung merah pada gambar di awal artikel.

Kita mulai dengan nilai fungsi di titik x₀:

$$f(1)=1^2=1$$

Jadi, titik singgungnya adalah (1, 1). Selanjutnya kita cari turunannya. Menurut rumus-rumus turunan, (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

Substitusikan x₀ = 1 ke dalam turunan:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Gradien garis singgungnya 2. Kedua bilangan kita substitusikan ke dalam rumus:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Jabarkan tanda kurungnya:

$$y-1=2x-2$$

Tinggal menyatakan y secara tersendiri, jadi angka 1 kita pindahkan ke ruas kanan:

$$y=2x-1$$

Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi x² di titik (1, 1) adalah y = 2x − 1. Periksa bahwa garis singgung memang melalui titik singgung: 2 · 1 − 1 = 1. Benar.

Kesalahan yang sering terjadi adalah menyubstitusikan x₀ ke fungsi semula juga di tempat yang seharusnya diisi turunan, sehingga diperoleh y − 1 = 1 · (x − 1). Hasilnya memang garis yang melalui titik tersebut, tetapi kemiringannya salah, sehingga garis itu memotong grafik. Itulah garis putus-putus abu-abu y = x pada gambar di awal.

Garis singgung yang sejajar dengan garis lain

Kadang-kadang titik singgungnya tidak diberikan, sehingga kita harus mencarinya sendiri. Soal yang khas berbunyi: tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

yang sejajar dengan garis y = 2x − 7.

Garis y = 2x − 7 sendiri bukan garis singgung, bahkan sama sekali tidak mempunyai titik persekutuan dengan parabola. Jika kedua persamaan disamakan, diperoleh x² − 6x + 12 = 0, dan persamaan kuadrat ini tidak mempunyai penyelesaian karena diskriminannya 36 − 48 = −12. Karena itu, garis tersebut harus digeser sampai hanya menyinggung parabola.

Garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, jadi garis singgung yang dicari harus bergradien 2, sama seperti garis y = 2x − 7. Karena itu, kita mencari titik tempat turunannya sama dengan 2. Kita turunkan fungsinya:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

Turunan kita samakan dengan 2, lalu kita selesaikan persamaan linear yang diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Absis titik singgungnya x₀ = 3. Ordinatnya kita peroleh dari fungsi:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Titik singgung T(3, 2) dan gradien 2 sudah diketahui, sehingga kita dapat menuliskan:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

Setelah tanda kurung dijabarkan dan angka 2 dipindahkan ke ruas kanan, diperoleh:

$$y=2x-4$$

Jadi, persamaan garis singgung yang dicari adalah y = 2x − 4. Pada gambar, parabola ditunjukkan dengan warna hitam, garis p yang diberikan dengan warna biru, garis singgung t dengan warna merah, dan titik singgung T dengan warna jingga.

Jika gradien garis yang diberikan berbeda, langkahnya tetap sama, hanya turunannya disamakan dengan bilangan lain. Pada parabola selalu diperoleh tepat satu titik singgung. Pada fungsi yang lebih rumit, titik singgungnya bisa lebih dari satu atau bahkan tidak ada.

Garis normal

Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus terhadap garis singgung. Jika gradien garis singgung adalah k, gradien garis yang tegak lurus terhadapnya adalah $-\frac{1}{k}$. Jadi, persamaan garis normal adalah

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

Rumus ini hanya dipakai jika f'(x₀) ≠ 0. Jika turunannya nol, garis singgungnya mendatar dan garis normalnya adalah garis tegak x = x₀.

Kita kembali ke contoh pertama dan menentukan garis normalnya, yaitu garis normal grafik fungsi x² di titik (1, 1). Gradien garis singgungnya 2, sehingga gradien garis normalnya $-\frac{1}{2}$. Kita substitusikan:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Jabarkan tanda kurungnya:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Angka 1 kita pindahkan ke ruas kanan dan pecahannya kita jumlahkan:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Jadi, persamaan garis normal grafik fungsi x² di titik (1, 1) adalah $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.