Kekontinuan fungsi

Seperti yang sudah bisa ditebak dari namanya, kekontinuan fungsi menyatakan apakah fungsi di suatu titik bersambung atau terputus. Kekontinuan didefinisikan dan dihitung dengan limit fungsi. Jika kamu belum menguasai limit, bagian ini akan sulit diikuti.

Definisi kekontinuan fungsi

Anehnya, kekontinuan cukup mudah didefinisikan dan dipahami, asalkan kamu sudah benar-benar memahami limit. Berikut definisi kekontinuan fungsi:

Fungsi f(x) disebut kontinu di titik a dari daerah asal fungsi f jika berlaku:

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

Kita juga dapat mendefinisikan kontinu kiri dan kontinu kanan, jika limitnya diganti dengan limit kiri atau limit kanan. Perhatikan hal-hal berikut:

• Sejauh ini kita baru mendefinisikan kekontinuan fungsi f di suatu titik. Jika fungsi f kontinu di semua titik daerah asalnya, fungsi f dapat disebut fungsi kontinu pada seluruh daerah asalnya.
• Titik a dalam definisi kekontinuan harus merupakan titik limit.
• Agar fungsi kontinu di titik a, nilai f(a) harus ada (nilai a harus termasuk daerah asal fungsi), limit $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ harus ada, dan keduanya harus bernilai sama.
• Fungsi yang kontinu di suatu titik juga kontinu kiri dan kontinu kanan di titik itu. Seperti pada limit, fungsi dapat juga hanya kontinu kiri atau hanya kontinu kanan di suatu titik. Jika limit kiri dan limit kanan berbeda, fungsi tidak kontinu di titik tersebut.

Apa arti definisi ini? Pertama, fungsi harus terdefinisi di titik tersebut. Jika fungsi tidak terdefinisi di suatu titik, tentu fungsi itu juga tidak kontinu di titik tersebut. Jika fungsi terdefinisi, kita lihat limitnya. Jika fungsi, baik dari kanan maupun dari kiri, mendekati nilai fungsi di titik tersebut, fungsi kontinu di titik itu. Jika limitnya berbeda dengan nilai fungsi, fungsi diskontinu di titik tersebut.

Contoh sederhana: dalam artikel limit fungsi kita sudah melihat fungsi $f(x)=\frac{x}{3}$, yaitu fungsi linear sederhana. Untuk setiap titik a ∈ ℝ berlaku

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

Jadi, fungsi f kontinu pada seluruh daerah asalnya. Misalnya, jika kita substitusikan a dengan bilangan 6, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

Titik diskontinu

Jika fungsi tidak kontinu di titik a, artinya fungsi diskontinu di titik tersebut. Ini tentu tidak mengejutkan. Namun, kita membedakan beberapa jenis titik diskontinu, bergantung pada seberapa besar kita harus “mengubah grafik fungsi” agar fungsinya menjadi kontinu.

Ada tiga jenis dasar diskontinuitas:

Titik diskontinuitas yang dapat dihapuskan

Titik diskontinuitas yang dapat dihapuskan adalah titik yang kedua limit sepihaknya ada dan sama (artinya fungsi mempunyai limit di titik tersebut), tetapi limit ini berbeda dengan nilai fungsinya atau fungsi tidak terdefinisi di titik tersebut. Jika a adalah titik diskontinuitas yang dapat dihapuskan dari fungsi f(x), berlaku:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ tetapi }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Sebagai contoh, kita ambil fungsi nilai mutlak dari signum x. Kita ingin mengetahui apakah fungsi ini kontinu di titik a = 0. Berikut grafiknya:

Terlihat bahwa fungsi ini hampir di semua tempat kontinu, hanya di titik nol ada celah, karena nilai fungsi di sana sama dengan nol, bukan satu. Padahal limit kiri dan limit kanan di titik ini sama dengan satu. Diskontinuitas ini disebut dapat dihapuskan karena dengan mendefinisikan ulang satu titik itu saja kita memperoleh fungsi kontinu. Jadi, titik diskontinu ini mudah dihapuskan.

Titik diskontinuitas jenis pertama

Titik diskontinuitas jenis pertama adalah titik a yang kedua limit sepihaknya ada dan berhingga, tetapi tidak sama. Definisinya:

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Titik diskontinu jenis ini kita tunjukkan dengan fungsi sederhana f(x) = sgn(x):

Sekali lagi terlihat bahwa fungsi ini diskontinu di titik a = 0. Limit kirinya sama dengan −1 dan limit kanannya sama dengan 1:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

Limit kiri dan limit kanan tidak sama, tetapi keduanya berhingga. Jadi, titik ini adalah titik diskontinuitas jenis pertama.

Untuk titik diskontinu jenis ini kita definisikan juga lompatan fungsi di suatu titik. Lompatan adalah selisih kedua limit tersebut, sehingga lompatan s fungsi f di titik a adalah:

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

Titik diskontinuitas jenis kedua

Titik diskontinuitas jenis kedua adalah titik yang paling sedikit satu limit sepihaknya tak hingga atau paling sedikit satu limit sepihaknya tidak ada. Sebagai contoh, kita ambil fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$. Titik diskontinunya terletak di titik nol:

Limit kiri di titik nol adalah minus tak hingga, dan limit kanan di titik nol adalah plus tak hingga. Kedua limit tersebut tak hingga, sehingga titik ini adalah titik diskontinuitas jenis kedua. Diskontinuitas ini tidak dapat dihapuskan dengan cara sederhana apa pun.

Kekontinuan pada interval

Kita sudah mendefinisikan kekontinuan di suatu titik, tetapi belum kekontinuan pada suatu interval. Fungsi kontinu pada interval I jika fungsi itu kontinu di setiap titik interval tersebut. Kita harus membedakan interval terbuka dan interval tertutup dengan cermat. Pada interval yang terbuka di kedua ujungnya, fungsi tidak harus kontinu di titik-titik ujungnya, karena interval terbuka memang tidak memuat titik-titik ujungnya. Namun, pada interval tertutup, fungsi harus kontinu kanan atau kontinu kiri di titik-titik ujung tersebut.

Sudah lama kita tidak bertemu fungsi signum, jadi mari kita ambil fungsi signum lagi. Pada interval terbuka (0, ∞), fungsi ini kontinu. Fungsi signum memang mempunyai titik diskontinu di nol, tetapi karena intervalnya terbuka, titik nol tidak ikut diperiksa. Pada interval [0, ∞), fungsi ini tidak lagi kontinu, karena tidak kontinu kanan di titik 0.

Mengapa fungsi ini tidak kontinu kanan? Karena limit kanannya sama dengan satu, sedangkan nilai fungsinya sama dengan nol. Nilainya tidak sama, sehingga fungsi tidak kontinu kanan di titik tersebut.

Fungsi disebut kontinu sepotong-sepotong jika fungsi tersebut mempunyai berhingga banyak titik diskontinuitas jenis pertama (atau diskontinuitas yang dapat dihapuskan). Jadi, hati-hati: jika fungsi mempunyai tak hingga banyaknya titik diskontinu, fungsi itu tidak kontinu sepotong-sepotong.

Dalam praktik, kekontinuan fungsi diperiksa dengan bantuan turunan fungsi. Fungsi yang dapat diturunkan di suatu titik juga kontinu di titik tersebut.