Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần (tiếng Latinh: per partes) được dùng khi ta cần tìm nguyên hàm của một hàm số có dạng tích.

Xây dựng công thức

Ta xuất phát từ công thức đạo hàm quen thuộc.

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Giả sử ta có các hàm số u và v có đạo hàm trên một khoảng J nào đó, tức là tồn tại u′ và v′. Bây giờ ta lấy nguyên hàm hai vế. Ta được:

$$\int (u\cdot v{)}^{\prime }=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Ở vế trái có thể bỏ dấu tích phân và dấu đạo hàm, vì nếu lấy đạo hàm của một hàm số rồi lấy nguyên hàm trở lại, ta được hàm số ban đầu (sai khác một hằng số c).

$$u\cdot v=\int u^{\prime }\cdot v+\int u\cdot v^{\prime }$$

Ta để riêng ở một vế nguyên hàm có chứa đạo hàm của hàm số v:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Như vậy hàm số $u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$ là một nguyên hàm của hàm số u · v′. Ta sẽ dùng điều này ở phần sau.

Ví dụ 1

Qua một ví dụ, ta xem cách dùng phương pháp tích phân từng phần. Tìm nguyên hàm

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x$$

Bài dạng này không giải được bằng những công cụ thông thường đã giới thiệu trong bài cơ bản về nguyên hàm. Vì hàm số đã cho có dạng tích, ta dùng phương pháp tích phân từng phần.

Trong công thức

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

có các hàm số u và v, ta phải chọn chúng cho hợp lí. Vậy ta cần làm gì? Theo công thức trên, ta tính được nguyên hàm $\int u\cdot v^{\prime }$. Nhưng đề bài không có gì như vậy, chỉ có x · cos x, không có đạo hàm v nào như công thức đòi hỏi. Vì thế ta phải viết hàm số x · cos x thành tích của hai hàm số. Một hàm số ta gọi là u, hàm số kia là v′.

Việc chọn cho khéo rất quan trọng, vì chọn không khéo thì cách làm chỉ phức tạp thêm. Hãy xem ở vế phải ta sẽ được gì nếu dùng công thức trên. Biểu thức u · v không có vấn đề gì, nhưng ta sẽ phải tính nguyên hàm $\int u^{\prime }\cdot v$. Vậy ta cần lấy được đạo hàm của hàm số u và tìm được nguyên hàm của hàm số v′.

Ta chọn các hàm số như sau:

$$u=x,v^{\prime }=\cos x$$

Như vậy ta có vế trái của đẳng thức, vì dưới dấu tích phân ở đó đúng là tích u · v′. Ở vế phải còn có tích u · v và một nguyên hàm khác. Vậy ta phải tính u′ và v. Đạo hàm của u thì đơn giản:

$$u^{\prime }=x^{\prime }=1$$

Bây giờ phải tính v từ v′, tức là tìm nguyên hàm của v′. Nhắc lại một lần nữa: ta đã chọn v′ = cos x. Nhưng ở vế phải ta làm việc với v, không có đạo hàm. Nói cách khác, nếu lấy đạo hàm của v nằm dưới dấu tích phân ở vế phải, ta phải được đúng v′ đã chọn ở vế trái. Vậy ta tìm hàm số có đạo hàm bằng cos x, tức là tìm nguyên hàm của v′.

$$v=\int v^{\prime }=\int \cos x=\sin x$$

Ghi vào bảng những gì đã biết:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x,& v^{\prime }=\cos x\\ u^{\prime }=1,& v=\sin x\end{array}\right]$$

Từ bảng này thay vào công thức

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v,$$

ta được:

$$\int x\cdot \cos x\text{ d}x=x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x$$

Ta đã đưa được nguyên hàm về một dạng khác, dễ tìm hơn. Biểu thức x · sin x không cần biến đổi thêm, chỉ còn phải tính nguyên hàm ở bên phải. Đó là một nguyên hàm đơn giản có trong bảng:

$$\int \sin x\text{ d}x=-\cos x+c$$

Vậy có thể viết

$$\begin{array}{rcl}\int x\cdot \cos x\text{ d}x& =& x\cdot \sin x-\int 1\cdot \sin x\text{ d}x\\ & =& x\cdot \sin x-(-\cos x)\\ & =& x\cdot \sin x+\cos x+c\end{array}$$

Đó là kết quả.

Chọn hàm số không khéo

Trên ví dụ này, ta thử xem điều gì xảy ra nếu chọn các hàm số u và v′ theo cách khác. Lúc nãy ta chọn

$$u=x,v^{\prime }=\cos x,$$

nên bây giờ ta thử ngược lại:

$$u=\cos x,v^{\prime }=x$$

Tính u′ và v. Ta được:

$$u^{\prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Bây giờ tìm nguyên hàm của v′:

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Ghi vào bảng:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\cos x,& v^{\prime }=x\\ u^{\prime }=-\sin x,& v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right]$$

Thay vào công thức:

$$\int x\cos x=\cos x\cdot \frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$$

Ta thấy cách này chẳng giúp được gì. Đề bài là nguyên hàm của x · cos x, còn sau khi dùng phương pháp tích phân từng phần, ta lại đi đến nguyên hàm của $-\sin x\cdot \frac{x^2}{2}$. Cách chọn này không dùng được.

Cách chọn các hàm số u và v'

Đáng tiếc là không có quy tắc vạn năng nào, bạn cần có chút cảm nhận. Cũng có ích nếu bạn xem trước mình sẽ làm gì tiếp với các hàm số đó. Công thức cơ bản mà ta xuất phát có dạng:

$$\int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-\int u^{\prime }\cdot v$$

Khi tìm nguyên hàm của một hàm số f có dạng tích, ta cố tách nó thành các hàm số u và v′ sao cho f = u · v′. Mục tiêu của phương pháp tích phân từng phần là làm cho nguyên hàm $\int u^{\prime }\cdot v$ ở vế phải đơn giản hơn nguyên hàm ở vế trái. Biểu thức u · v không quan trọng lắm, nó có thể phức tạp tuỳ ý.

Để nguyên hàm ở vế phải đơn giản hơn, nên chọn u là một hàm số trở nên đơn giản hơn sau khi lấy đạo hàm. Thường đó là các hàm số dạng xⁿ, vì sau khi lấy đạo hàm, bậc của hàm số giảm đi 1. Chẳng hạn từ x² ta được 2x, từ x ta được 1, đó là trường hợp lí tưởng.

Ngược lại, v′ nên là thứ không trở nên phức tạp hơn sau khi lấy nguyên hàm. Thường không thể mong rằng nguyên hàm của v′ đơn giản hơn, nhưng có thể mong nó phức tạp gần như nhau. Điển hình là sin và côsin, vì nguyên hàm của hàm này là hàm kia (sai khác dấu), điều đó không gây trở ngại gì.

Ví dụ 2

Ta thử một ví dụ phức tạp hơn:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x$$

Nguyên hàm của e^x lại là e^x, nên đây là ứng viên lí tưởng để lấy nguyên hàm. Ngược lại, đạo hàm của x² là 2x, một biểu thức đơn giản hơn. Vậy ta chọn các hàm số như sau:

$$u=x^2,v^{\prime }=e^x$$

Cả bảng như sau:

$$\left[\begin{array}{cc}u=x^2,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2x,& v=e^x\end{array}\right]$$

Thay vào công thức:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Ta được một nguyên hàm đơn giản hơn, nhưng vẫn chưa tính được ngay. Ta dùng phương pháp tích phân từng phần thêm một lần nữa. Bây giờ ta tìm nguyên hàm sau:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Cách làm giống như ở bước trước. Ta chọn các hàm số như sau:

$$\left[\begin{array}{cc}u=2x,& v^{\prime }=e^x\\ u^{\prime }=2,& v=e^x\end{array}\right]$$

Và được:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-\int 2e^x\text{ d}x$$

Đưa số 2 ra ngoài dấu tích phân, ta được:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot \int e^x\text{ d}x$$

Và nguyên hàm của e^x lại là e^x:

$$\int 2x\cdot e^x\text{ d}x=2x\cdot e^x-2\cdot e^x$$

Thay ngược kết quả này vào đẳng thức trước:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-\int 2x\cdot e^x\text{ d}x$$

Sau khi thay vào, ta được:

$$\int x^2\cdot e^x\text{ d}x=x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)$$

Bây giờ chỉ còn biến đổi kết quả về dạng dễ nhìn hơn. Trước hết bỏ ngoặc bằng cách nhân các số hạng trong ngoặc với −1, rồi đặt e^x làm nhân tử chung:

$$\begin{array}{rcl}\int x^2\cdot e^x\text{ d}x& =& x^2\cdot e^x-(2x\cdot e^x-2\cdot e^x)\\ & =& x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2\cdot e^x\\ & =& e^x(x^2-2x+2)\end{array}$$

Và ta có kết quả.

Nguyên hàm của hàm số lôgarit

Đây là một bài kinh điển của phương pháp tích phân từng phần. Hãy xem đề bài huyền thoại này:

$$\int \ln x\text{ d}x$$

Điều thú vị ở nguyên hàm này là dù không có tích nào, ta vẫn giải nó bằng phương pháp tích phân từng phần. Đơn giản là nhân lôgarit với 1. Hàm số dưới dấu tích phân không đổi, nhưng xuất hiện một phép nhân.

$$\int 1\cdot \ln x\text{ d}x$$

Chọn các hàm số u và v′ thế nào? Ta chưa biết nguyên hàm của ln x (đó chính là thứ đang cần tìm), nên ta sẽ lấy đạo hàm của lôgarit và lấy nguyên hàm của số 1. Từ đó ta có:

$$u=\ln x,v^{\prime }=1$$

Đạo hàm của lôgarit là 1/x:

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

và nguyên hàm của 1 là x:

$$\int 1\text{ d}x=x$$

Điền vào bảng:

$$\left[\begin{array}{cc}u=\ln x,& v^{\prime }=1\\ u^{\prime }=\frac{1}{x},& v=x\end{array}\right]$$

Và thay vào công thức:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x$$

Tính nguyên hàm ở vế phải:

$$\int \frac{1}{x}\cdot x\text{ d}x=\int 1\text{ d}x=x$$

Vậy ta được kết quả:

$$\int \ln x\text{ d}x=x\cdot \ln x-x+c$$