Limit fungsi

Limit fungsi adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi di sekitar titik tertentu. Berkat limit, kita dapat, misalnya, mendefinisikan kekontinuan fungsi. Limit fungsi juga membantu kita memahami perilaku fungsi di titik-titik tempat fungsi itu sama sekali tidak terdefinisi.

Persekitaran titik

Kita mulai dengan definisi persekitaran epsilon suatu titik pada himpunan bilangan real. Misalkan r ∈ ℝ. Persekitaran epsilon titik ini untuk ϵ > 0 adalah interval terbuka (r − ϵ, r + ϵ). Persekitaran epsilon terhapus sama saja, hanya saja tidak memuat titik r. Persekitaran terhapus adalah (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ). Persekitaran epsilon titik a kita lambangkan dengan U(a, ϵ), sedangkan persekitaran terhapusnya dengan R(a, ϵ).

Sebagai contoh, ambil bilangan 5 dan persekitaran-2 titik tersebut. Kita hitung U(5, 2), yaitu interval (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Persekitaran terhapusnya adalah R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7), yaitu persekitaran yang sama tanpa titik 5. Berikut gambar persekitaran-2 titik 5:

Persekitaran-2 terhapus akan tampak sama, hanya titik biru 5 tidak termasuk di dalamnya.

Titik limit

Selanjutnya kita perlu mengetahui definisi titik limit (titik akumulasi) suatu himpunan. Bilangan a ∈ ℝ adalah titik limit himpunan M ⊆ ℝ jika di setiap persekitaran terhapusnya, sekecil apa pun, terdapat titik anggota himpunan M. Secara lebih tepat:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Contoh: setiap bilangan real adalah titik limit himpunan bilangan real. Jika kita memilih bilangan 10, di setiap persekitaran terhapus titik ini selalu terdapat bilangan real. Untuk $ϵ=\frac{1}{100}$ diperoleh persekitaran terhapus (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). Kedua interval memuat bilangan real, bahkan tak hingga banyaknya. Jadi, sekecil apa pun ϵ yang kita ambil, kita selalu memperoleh interval yang memuat tak hingga banyaknya bilangan real.

Jika M adalah himpunan bilangan asli, kita tidak akan menemukan satu pun titik limit. Misalnya, bilangan $\frac{1}{2}$ bukan titik limit, karena untuk $ϵ=\frac{1}{10}$ diperoleh interval (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), dan tidak satu pun dari kedua interval ini memuat bilangan asli.

Mengapa kita memerlukan limit

Kita mulai dengan definisi yang paling mudah, yaitu limit berhingga di titik berhingga. Pertama, mari kita lihat apa sebenarnya yang ingin kita hitung. Perhatikan grafik fungsi signum berikut:

Ambil titik x₁ = 3. Nilai fungsi di titik ini adalah 1, yaitu sgn(3) = 1. Selain itu, untuk semua titik di sekitarnya yang “dekat”, nilai fungsinya juga 1, misalnya sgn(2,5) = 1 atau sgn(3,5) = 1. Jika kita mendekati titik x₁ = 3 dari kiri atau dari kanan, nilai fungsinya selalu sama dengan 1.

Namun, jika kita ambil titik x₂ = 0, berlaku sgn(0) = 0, padahal semua titik di sekitarnya mempunyai nilai fungsi yang berbeda! Misalnya, $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ atau $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Dari kanan, nilai fungsi mendekati 1, sedangkan dari kiri mendekati −1. Ternyata di titik x₂ = 0 nilai fungsinya 0. Mengejutkan, bukan? Nilai-nilai yang didekati fungsi di suatu titik inilah yang disebut limit fungsi di titik tersebut.

Definisi limit berhingga di titik berhingga

Misalkan f adalah fungsi dan x₀ ∈ ℝ adalah titik limit daerah asal fungsi f. Bilangan L ∈ ℝ disebut limit fungsi f di titik x₀ jika

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Sekarang mari kita lihat arti definisi ini. Titik berhingga di sini berarti titik tersebut adalah bilangan real. Nanti kita akan membahas limit di titik tak hingga, yaitu di tak hingga. Mari kita hitung limit berikut:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Untuk fungsi yang sederhana seperti ini, limit fungsi di titik x₀ sama dengan nilai fungsi di titik tersebut, yaitu f(x₀). Nanti kita akan mendefinisikan dengan tepat apa arti “fungsi sederhana”. Sekarang kita gambarkan semuanya:

Garis hitam adalah grafik fungsi $f(x)=\frac{x}{3}$, titik merah x₀ adalah titik tempat limit dicari, dan titik hijau L adalah limit yang diperoleh. Perhatikan bahwa limit digambarkan pada sumbu y.

Kita lanjutkan sesuai definisi. Di bagian pertama definisi ada (∀ϵ > 0), dan kemudian ϵ dipakai dalam |f(x) − L|<ϵ. Ini adalah cara matematis untuk menyatakan bahwa kita ingin semua f(x) berjarak kurang dari ϵ dari L. Jadi, kita mencari persekitaran-ϵ titik L pada sumbu y. Menurut definisi, kita boleh memilih ϵ > 0 berapa pun. Kita pilih, misalnya, $ϵ=\frac{3}{10}$. Pada sumbu y kita tandai titik-titik yang berjarak tepat ϵ dari titik L:

Semua titik pada sumbu y yang terletak di antara kedua garis hijau ini berada di dalam persekitaran-ϵ titik L. Titik-titik inilah yang dibicarakan dalam definisi.

Definisi berlanjut dengan (∃δ>0), yang kemudian dipakai dalam 0<|x − x₀|<δ. Kita menyatakan bahwa selisih x − x₀ harus lebih kecil daripada δ. Karena x dan x₀ terletak pada sumbu x, nilai δ juga kita gambarkan pada sumbu x. Bentuk 0<|x − x₀|<δ meminta kita mengambil semua x yang berjarak kurang dari δ dari x₀, tetapi juga lebih dari nol, yaitu x ≠ x₀. Artinya, penulisan ini menyatakan persekitaran-δ terhapus titik x₀. Jadi, definisi limit dapat ditulis ulang secara ekuivalen dengan persekitaran titik:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Kita kembali ke definisi sebelumnya dan melanjutkan gambarnya. Untuk itu kita memerlukan bagian definisi berikutnya:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Jadi, untuk semua x dari persekitaran-δ terhapus titik x₀ harus berlaku… suatu syarat. Pada gambar kita tambahkan persekitaran-δ terhapus titik x₀, misalnya untuk $\delta =\frac{3}{2}$:

Semua x yang terletak di antara garis-garis putus-putus merah termasuk dalam persekitaran-δ titik x₀, kecuali titik x₀ sendiri. Sekali lagi kita lihat syarat tadi:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Untuk semua x dari persekitaran-δ terhapus titik x₀, semua nilai fungsi f(x) harus terletak di dalam persekitaran-ϵ titik L. Jadi, kita ambil semua x dari persekitaran-δ terhapus titik x₀ dan menghitung nilai fungsinya. Nilai-nilai fungsi ini ditunjukkan oleh ruas garis biru pada gambar berikut:

Titik x₀ tidak termasuk dalam persekitaran terhapus, karena itu di tempat tersebut ada lingkaran kosong. Definisi menyatakan bahwa semua titik biru ini harus berada di dalam persekitaran-ϵ titik L. Dengan bahasa warna pada gambar: semua titik biru harus terletak di antara garis-garis hijau yang menyatakan persekitaran-ϵ. Apakah syarat ini terpenuhi?

Tentu saja tidak. Misalnya, untuk $x=\frac{16}{10}$ jelas diperoleh titik biru yang tidak terletak di antara garis-garis hijau, artinya tidak berada di dalam persekitaran-ϵ titik L.

Namun, hal ini tidak menjadi masalah. Definisi menyatakan bahwa untuk setiap persekitaran-ϵ titik L harus terdapat suatu persekitaran-δ sedemikian sehingga … (sisa syaratnya). Artinya, cukup ada satu persekitaran-δ seperti itu. Jelas $\delta =\frac{3}{2}$ bukan pilihan yang baik, tetapi kita bisa mencoba δ lain, misalnya $\delta =\frac{1}{2}$. Gambarnya berubah seperti ini:

Sekali lagi kita periksa apakah semua nilai fungsi untuk semua x dari persekitaran-δ terhapus titik x₀ berada di dalam persekitaran-ϵ titik L. Singkatnya, apakah semua titik biru terletak di antara garis-garis hijau. Ya, sekarang sudah. Hore!

Apakah ini berarti L adalah limit fungsi di titik x₀? Belum tentu, karena definisi menyatakan (∀ϵ > 0) …. Sejauh ini kita baru memeriksa definisi untuk satu ϵ tertentu, dan masih tersisa … tak hingga banyaknya.

Dengan kata lain, agar benar-benar berlaku $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, untuk setiap persekitaran-ϵ kita harus menemukan persekitaran-δ yang memenuhi syarat di atas. Dari gambar terlihat bahwa persekitaran-δ seperti itu selalu dapat ditemukan. Misalnya, jika ϵ diperkecil menjadi $ϵ=\frac{1}{10}$, kita dapat memperkecil δ menjadi $\delta =\frac{2}{10}$, dan syaratnya tetap terpenuhi:

Sekecil apa pun ϵ yang kita ambil, kita harus selalu dapat menemukan δ sehingga nilai-nilai fungsinya masuk ke dalam persekitaran-ϵ limit fungsi L.

Bukti limit berhingga di titik berhingga

Sekarang mari kita buktikan limit tadi. Dari gambar kita sudah tahu bahwa kemungkinan besar

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

dan sekarang kita coba membuktikannya secara matematis. Dari gambar dapat diduga bahwa jika untuk δ selalu diambil nilai yang sama dengan ϵ, syaratnya mungkin terpenuhi. Jadi, kita ambil δ = ϵ. Sekarang kita harus membuktikan

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{untuk semua}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$

Karena kita mengambil δ = ϵ, semua δ kita ganti dengan ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{untuk semua}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)$$

Substitusikan L = 1 dan x₀ = 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{untuk semua}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)$$

Sekarang kita harus membuktikan semua pertidaksamaan tersebut. Karena fungsi $\frac{x}{3}$ adalah fungsi naik, cukup kita periksa titik-titik ujungnya, yaitu 3 − ϵ dan 3 + ϵ. Kita mulai dengan 3 − ϵ: substitusikan nilai 3 − ϵ ke dalam fungsi $\frac{x}{3}$ dan tunjukkan bahwa nilai ini selalu memenuhi pertidaksamaan 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Hal yang sama untuk 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Limit yang ditentukan dengan salah

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi jika kita mengira bahwa limit fungsi untuk x mendekati 3 sama dengan setengah. Kita pilih persekitaran epsilon yang kecil:

Sekarang kita tidak dapat menemukan persekitaran delta titik x₀ yang semua nilai fungsinya masuk di antara kedua garis hijau. Terlihat bahwa untuk persekitaran δ yang dipilih, semua titik biru berada di luar garis-garis hijau. Jika persekitaran-δ diperbesar, kita hanya menambah banyaknya titik biru yang tidak dapat dimasukkan di antara garis-garis hijau.

Limit fungsi signum

Signum adalah fungsi yang indah, tetapi mungkin akan membuatmu bingung. Berikut grafiknya:

Grafiknya kurang jelas, jadi berikut penjelasannya dengan kata-kata: jika x negatif, signumnya minus satu; jika x positif, signumnya plus satu; dan jika x nol, signumnya juga nol. Kita ubah fungsinya dengan nilai mutlak menjadi f(x) = |sgn(x)|, sehingga diperoleh |sgn(0)| = 0, dan untuk kasus lainnya |sgn(x)| = 1. Grafiknya:

Pertanyaannya, berapa nilai limit berikut?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Fungsi ini terdefinisi di titik nol, dan nilai fungsinya juga nol. Namun, hal itu tidak berarti limitnya juga nol. Limit dapat berbeda dengan nilai fungsi di titik tersebut.

Satu-satunya pilihan limit yang memenuhi definisi adalah 1. Intuisi juga dapat membantu: nilai apa yang didekati fungsi jika x mendekati nol dari kiri? Nilainya selalu mendekati 1. Bahwa pada akhirnya nilai fungsi melompat ke nol tidak menjadi masalah. Hal yang sama berlaku untuk x yang mendekati nol dari kanan.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Jika fungsinya dibiarkan dalam bentuk semula, yaitu f(x) = sgn(x), fungsi tidak mempunyai limit di titik nol, tetapi mempunyai dua limit sepihak yang berbeda. Dari kiri fungsi mendekati minus satu, dan dari kanan mendekati plus satu. Coba buktikan sendiri menurut definisi.

Limit yang tidak ada

Berikut beberapa contoh lagi ketika limit tidak ada.

Contoh paling sederhana adalah limit di titik yang bukan titik limit D_f. Misalnya, limit berikut tidak ada:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafiknya:

Fungsi periodik sering kali tidak mempunyai limit di tak hingga (tetapi tidak semuanya!). Contoh khasnya adalah fungsi trigonometri, misalnya sinus. Berikut grafiknya:

Limit di tak hingga tidak ada karena nilai sinus terus berosilasi antara satu dan minus satu, sehingga limitnya tidak dapat dihitung.