Integral tentu

Integral tentu dipakai untuk mengukur luas bangun yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi.

Motivasi

Diberikan fungsi $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Sekarang kita bisa bertanya: berapa luas daerah di bawah kurva grafik dari titik a = 0 sampai titik b = 10? Jadi, kita ingin mengetahui luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, kurva grafik fungsi f, dan garis-garis tegak di titik a dan b. Semuanya terangkum dalam gambar berikut:

Kita ingin mengetahui luas daerah yang ditandai biru. Bagaimana cara menentukannya? Kita bisa membagi seluruh daerah biru menjadi beberapa daerah yang lebih kecil, menghitung luas daerah-daerah kecil itu, lalu menjumlahkan semua luasnya. Agar luas daerah kecil tersebut dapat dihitung dengan rumus, bentuknya harus sederhana. Pilihan yang paling mudah adalah persegi panjang.

Pertama, kita pilih barisan naik titik-titik x₀ sampai x_n sehingga x₀ = a, x_n = b. Makin besar n, makin akurat hasilnya. Kita pilih barisan sederhana x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Dari titik-titik yang bersebelahan kita bentuk interval [x_{i − 1}, x_i], sehingga diperoleh himpunan interval

$$D=\{[0,1],[1,2],[2,3],\dots ,[9,10]\}$$

Interval pertama kita sebut D₁, interval kedua D₂, dan seterusnya. Selanjutnya kita cari nilai terkecil fungsi f pada setiap interval D_i. Misalnya, pada D₁ fungsi f mencapai nilai terkecil di x = 0, dan f(0) = 0. Pada D₂, nilai terkecilnya ada di titik x = 1, dan $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Begitu seterusnya. Nilai-nilai fungsi ini kita beri lambang: nilai fungsi terkecil pada interval D_i kita lambangkan dengan m_i. Jadi, m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915, dan seterusnya.

Sekarang kita gambar persegi panjang pada grafik. Persegi panjang ke-i mempunyai lebar x_i − x_{i − 1} dan tinggi m_i:

Terlihat bahwa setiap interval mempunyai satu persegi panjang yang seluruhnya terletak di bawah kurva dan sekaligus setinggi mungkin. Tinggi setiap persegi panjang pada interval ke-i adalah m_i. Jika luas semua persegi panjang ini kita jumlahkan, kita memperoleh perkiraan luas daerah di bawah kurva. Makin banyak persegi panjang yang kita gambar di bawah kurva, makin akurat perkiraannya. Luas persegi panjang ke-i adalah s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), sehingga jumlah luas semua persegi panjang adalah:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Kita juga bisa melakukan sebaliknya: alih-alih mengambil nilai fungsi terkecil pada interval D_i, kita ambil nilai fungsi terbesar. Nilai-nilai fungsi ini kita lambangkan dengan M_i. Persegi panjangnya akan tampak seperti ini:

Sekali lagi, setiap interval mempunyai satu persegi panjang yang tingginya selalu M_i. Sisi atas persegi panjang hanya menyentuh kurva di titik maksimum lokal pada interval tersebut. Dengan menjumlahkan luas semua persegi panjang ini, kita memperoleh perkiraan lain untuk luas daerah di bawah kurva. Luas ini dihitung sebagai

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Sekali lagi, jika banyak persegi panjang diperbesar, perkiraannya menjadi lebih akurat.

Sekarang kita perkenalkan istilah jumlah Darboux bawah dan jumlah Darboux atas. Kita katakan bahwa s(D, f) adalah jumlah Darboux bawah, dan nilainya adalah

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dengan f fungsi kontinu pada interval [a, b], x₀ = a, x_n = b, D partisi interval [a, b] menjadi interval-interval yang lebih kecil, dan n banyaknya interval tersebut. Jumlah Darboux atas kita lambangkan dengan S(D, f), dan nilainya adalah:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

dengan f suatu fungsi dan D partisi interval [a, b] menjadi n interval.

Secara sederhana, makin besar D, makin dekat nilai s(D, f) dan S(D, f), sampai suatu saat di tak hingga keduanya sama. Jadi, terdapat tepat satu bilangan real A sehingga

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

untuk semua partisi D yang mungkin. Bilangan apakah A itu? Bilangan A tidak lain adalah luas daerah di bawah kurva, karena hanya nilai inilah yang lebih besar atau sama dengan jumlah luas persegi panjang di bawah kurva dan sekaligus lebih kecil atau sama dengan jumlah luas persegi panjang “di atas kurva”.

Definisi integral tentu

Dari bagian sebelumnya kita tahu bahwa untuk fungsi kontinu f pada interval [a, b] berlaku s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) untuk semua partisi D. Bilangan A ini disebut integral tentu fungsi f dari a sampai b. Kita menuliskannya sebagai

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Selanjutnya, teorema dasar kalkulus (rumus Newton–Leibniz) menyatakan bahwa berlaku hubungan berikut:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

dengan F antiturunan fungsi f. Ruas kanan persamaan ini kadang-kadang juga ditulis seperti ini:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Makna geometris integral tentu adalah luas daerah di bawah kurva fungsi f yang tidak negatif, seperti yang sudah disebutkan. Kita tadi memulai dengan fungsi $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, jadi mari kita hitung luas daerah pada interval [0, 10]. Kita hitung integral tentu

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Pertama, kita integralkan fungsi f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Jadi, antiturunan F berbentuk $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Kita uraikan integral tentunya:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Jadi, luas daerah di bawah kurva pada interval [0, 10] kira-kira 14,339.