Turunan fungsi

Turunan adalah konsep dasar dalam kalkulus diferensial. Turunan berperan penting, misalnya, dalam menganalisis dan membuat sketsa grafik fungsi. Banyak siswa membencinya, padahal menghitung turunan itu sebenarnya cukup mekanis dan bisa dikuasai dengan latihan. Artikel ini hanya menjelaskan definisi turunan dan konsep-konsep yang berkaitan. Contoh soal beserta penyelesaiannya ada di artikel lain: contoh soal turunan yang mudah dan contoh soal yang lebih sulit. Kebalikan dari menurunkan adalah integral.

Apa itu turunan

Sebelum sampai pada definisi turunan, mari kita lihat dulu apa yang sebenarnya dihitung dengan turunan dan apa gunanya.

Dengan turunan fungsi kita memperoleh gradien garis singgung. Mungkin terlalu banyak istilah sekaligus, jadi kita mulai dari awal. Secara sederhana, garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh grafik tepat di satu titik. Ini bukan definisi yang tepat (definisi yang tepat dapat kamu baca, misalnya, di Wikipedia), tetapi untuk sementara sudah cukup. Sekarang perhatikan gambar berikut:

Kurva hitam adalah grafik fungsi y = x². Garis biru adalah garis singgung grafik fungsi ini di titik D(1, 1), yang ditandai dengan warna merah. Dengan warna hijau ditandai sudut α antara garis singgung dan sumbu x, lebih tepatnya sumbu x positif. Sekarang kita definisikan gradien garis singgung. Pada gambar ini, gradien garis singgung adalah tangen sudut alfa. Tangen adalah fungsi trigonometri biasa, yang dapat dipakai, misalnya, untuk menghitung besar sudut dan panjang sisi segitiga. Jadi, gradien garis singgung adalah tangen sudut antara garis singgung dan sumbu x positif. Gradien inilah yang kita peroleh dengan turunan.

Selanjutnya kita membedakan turunan fungsi di suatu titik dan turunan fungsi. Turunan fungsi di suatu titik adalah gradien garis singgung di titik tersebut. Turunan fungsi adalah fungsi lain yang memberikan gradien untuk sembarang nilai x. Contohnya menyusul.

Mengapa turunan berguna

Jadi, dengan turunan kita dapat menghitung gradien garis singgung. Apa gunanya? Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar ada lagi fungsi y = x² dan empat garis singgung: dua berwarna hijau dan dua berwarna biru. Perhatikan bahwa fungsi y = x² turun pada interval (−∞, 0) dan naik pada interval (0, ∞). Lalu bagaimana dengan garis-garis singgungnya, atau lebih tepatnya dengan sudut yang dibentuknya dengan arah positif sumbu mendatar? Garis singgung biru, yaitu garis singgung melalui titik-titik pada interval tempat fungsi naik, membentuk sudut kurang dari 90° dengan sumbu tersebut. Sebaliknya, garis singgung hijau membentuk sudut lebih dari 90°. Bagaimana hal ini tampak pada gradien garis singgungnya?

Untuk itu kita perlu mengetahui perilaku fungsi tangen. Dari grafik berikut terlihat bahwa jika besar sudut kurang dari 90°, nilai tangennya positif (bagian yang ditandai biru). Sebaliknya, jika sudutnya lebih dari 90°, tetapi kurang dari 180° (yaitu kurang dari π radian), nilai tangennya negatif. Apa kesimpulannya? Jika gradien garis singgung di suatu titik positif (ingat, gradien adalah tangen sudut), fungsi naik di titik tersebut. Jika gradiennya negatif, fungsi turun.

Definisi

Sebelum sampai pada definisi turunan, kita harus menempuh jalan yang panjang, dan untuk itu kita memerlukan limit fungsi. Jika kamu belum menguasai limit, pelajari dulu limit atau langsung saja lihat rumus-rumusnya, karena penjelasan berikut mungkin belum cocok untukmu.

Sebelum membahas gradien garis singgung, kita berhenti dulu pada gradien garis sekan, yang lebih mudah. Garis sekan adalah garis lurus yang memotong grafik di dua titik. Sekarang mari kita turunkan cara menghitung gradiennya. Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar terdapat grafik fungsi x² + 1 dan garis sekan s yang memotong grafik di dua titik, yaitu (0,5; 1,25) dan (2, 5). Kedua titik ini ditandai dengan warna biru. Karena nilai-nilai yang konkret tidak terlalu penting bagi kita, pada grafik nilai-nilai ini ditandai secara umum dengan a dan b serta f(a) dan f(b). Di sini f(a) adalah nilai fungsi f di titik x = a. Hal ini sesuai dengan gambar: nilai fungsi x² + 1 di titik x = 2 adalah 2² + 1 = 5.

Sekarang kita ingin mengetahui cara menghitung sudut alfa, yaitu sudut antara garis sekan dan sumbu x. Pertama, gambarnya kita ubah sedikit sehingga terbentuk segitiga. Dengan segitiga, pekerjaan kita menjadi lebih mudah.

Apa yang kita lakukan? Titik-titik potong garis sekan dengan grafik fungsi y = x² + 1 kita lengkapi menjadi segitiga siku-siku ABC. Apa manfaatnya? Sudut β sama besar dengan sudut α (keduanya sudut sehadap). Selain itu, kita mengetahui panjang sisi AB dan BC. Berlaku |AB| = b − a (yaitu jarak titik b dari a). Demikian pula panjang |BC| = f(b) − f(a). Bagaimana sekarang kita menghitung besar sudut β, atau sudut α?

Kita perlu tahu cara menghitung tangen. Tangen adalah perbandingan sisi depan dan sisi samping. Jadi, tangen sudut alfa (beta) sama dengan perbandingan panjang sisi BC dan panjang sisi AB. Kita tuliskan:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Karena gradien adalah tangen sudut, dengan rumus ini kita sudah menghitung gradien garis sekan. Namun, bagaimana hal ini membantu kita menghitung gradien garis singgung? Bayangkan kita terus mendekatkan titik A dan C sampai keduanya berimpit. Pendekatan ini diperlihatkan pada gambar berikut:

Makin dekat titik potong atas ke titik potong bawah, makin mirip garis sekan dengan garis singgung. Garis sekan CA semula masih jauh dari garis singgung. Jika titik C didekatkan ke titik A, kita peroleh, misalnya, garis sekan C₁A, yang sudah lebih mirip garis singgung. Garis sekan C₂A lebih mirip lagi, dan seterusnya.

Kapan garis sekan menjadi garis singgung? Ketika kedua titik potong berimpit menjadi satu titik, yaitu jika untuk suatu titik C_n berlaku C_n = A. Pada saat itu garis sekan berubah menjadi garis singgung, seperti yang kita inginkan. Pertanyaannya, bagaimana menghitung gradiennya? Kita tidak bisa begitu saja mengurangkan kedua titik, karena keduanya sama:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Cara ini tidak berhasil, jadi kita tidak bisa menghitung seperti itu. Bukan tanpa alasan tadi kita hanya mendekatkan kedua titik. Kita memerlukan limit. Kita ingin menghitung gradien garis singgung di titik (a, f(a)), dan kita sudah bisa menghitung gradien semua garis sekan. Jadi, kita hitung gradien garis-garis sekan yang makin mendekati garis singgung. Artinya, kita mendekatkan b ke a. Kedua titik tidak dapat kita dekatkan sampai sama, tetapi dapat kita dekatkan sehingga selisihnya mendekati nol. Inilah limit. Jadi, kita mendekatkan b ke a sampai dalam limit keduanya sama, yaitu kita menghitung limit untuk b mendekati a. Itu saja. Rumusnya seperti ini:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Limit ini disebut turunan fungsi f(x) di titik x = a. Ingat, sudut α sama dengan sudut β. Biasanya kita tidak memakai variabel a dan b, tetapi mencari turunan di titik x₀ dan mendekatinya dengan titik x. Jadi, kita dapat menulis:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Sejauh ini, seperti pada kekontinuan fungsi, kita baru mendefinisikan turunan di satu titik. Jika fungsi f(x) dapat diturunkan pada interval terbuka I, nilai-nilai turunan ini membentuk fungsi f′(x) yang disebut turunan fungsi.

Turunan ditulis dengan tanda aksen di indeks atas, kira-kira seperti ini:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Kamu juga dapat menjumpai cara penulisan lain dengan dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Jadi, dalam rumus yang baru saja kita pakai, tangen dapat diganti dengan lambang turunan:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Dengan limit sepihak, kita juga dapat mendefinisikan turunan kanan dan turunan kiri. Hal ini tidak akan kita bahas di sini karena tidak terlalu penting.

Definisi yang sedikit berbeda

Definisi lain turunan fungsi di suatu titik adalah sebagai berikut:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Bagaimana kita sampai pada definisi ini? Gambar yang kita pakai tadi cukup diubah sedikit. Jarak titik a ke titik b dapat kita nyatakan sebagai h = b − a. Dengan demikian, titik b dapat ditulis sebagai a + h, karena h adalah jarak b dari a. Gambarnya menjadi seperti ini:

Di bawah ada titik a dan a + h, dan pada sumbu y ada f(a) dan f(a + h). Sekarang kita buat lagi segitiga dan menghitung tangen sudut beta. Bedanya, panjang sisi AB sudah kita ketahui, yaitu h.

Turunan berhingga dan tak hingga

Seperti limit fungsi, turunan juga ada yang berhingga dan ada yang tak hingga. Apa artinya? Turunan disebut berhingga jika nilai turunan di suatu titik sama dengan suatu bilangan real. Turunan disebut tak hingga jika nilainya plus atau minus tak hingga. Bagaimana membayangkannya secara geometris? Kapan gradien “tak hingga”? Kita mulai dengan pertanyaan yang lebih mudah: seperti apa garis singgung yang gradiennya sangat besar? Dari grafik fungsi tangen (lihat di atas) terlihat bahwa jika nilai tangen besar, sudutnya mendekati 90° (jika kita berada pada interval (0, 180)).

Dari sini dapat diduga bahwa jika fungsi mempunyai turunan tak hingga di suatu titik, garis singgungnya membentuk sudut siku-siku dengan sumbu x, artinya tegak lurus terhadap sumbu tersebut. Memang benar demikian. Seperti apa grafik fungsi seperti itu, dan di titik mana garis singgungnya tegak lurus terhadap sumbu x? Contohnya fungsi $y=\sqrt[3]{x}$:

Sifat-sifat dasar

• Agar fungsi mempunyai turunan di suatu titik, fungsi harus terdefinisi pada suatu persekitaran epsilon titik tersebut. Jika persekitaran seperti itu tidak ada, kita tidak dapat menghitung limit yang dipakai untuk mendefinisikan turunan.

• Karena limit (jika ada) tunggal, turunan di suatu titik, jika ada, juga tunggal. Tidak ada fungsi yang mempunyai lebih dari satu turunan di satu titik: hanya satu atau tidak ada sama sekali.

• Seperti pada limit sepihak, jika fungsi mempunyai turunan di suatu titik, turunan kiri dan turunan kanannya harus sama.

• Kadang-kadang kita perlu mengetahui turunan kedua. Ini tidak sulit: fungsi kita turunkan sekali, lalu hasilnya kita turunkan sekali lagi. Turunan kedua ditulis dengan dua tanda aksen: f''(x) = (f'(x))'.

• Sifat penting: jika fungsi mempunyai turunan di suatu titik, fungsi itu kontinu di titik tersebut. Sifat ini juga berasal dari sifat-sifat limit. Perhatikan bahwa kebalikannya tidak berlaku. Fungsi yang kontinu di suatu titik belum tentu dapat diturunkan di titik itu. Contoh khasnya adalah fungsi f(x) = |x|. Grafiknya mempunyai titik lancip, dan di titik lancip itu gradien garis singgung tidak dapat dihitung. Coba hitung turunan kiri dan turunan kanannya; hasilnya berbeda.

  

• Dengan turunan, beberapa limit juga dapat dihitung, yaitu dengan aturan L'Hôpital.

Tautan

Di artikel lain kamu dapat menemukan daftar rumus turunan. Rumus-rumus lainnya ada di Wikipedia.

Kamu juga dapat melihat contoh soal turunan beserta penyelesaiannya, lalu contoh soal turunan yang lebih sulit.

Jika kamu ingin memeriksa hasil perhitungan turunan dengan cepat, kamu dapat memakai alat bantu matematika, misalnya Wolfram|Alpha. Cukup ketik, misalnya, “derive x^2+6x” di kolom isian, dan Wolfram akan menghitung turunan fungsi tersebut.