Contoh soal turunan tingkat lanjut

Berikut beberapa contoh turunan yang lebih sulit daripada sekadar memakai rumus-rumus dasar. Jika kamu memerlukan penjelasan definisi turunan, bacalah artikel turunan fungsi.

Contoh pertama

Kita mulai dengan soal yang belum terlalu sulit.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Dari rumus-rumus turunan fungsi kita tahu bahwa turunan fungsi e^x adalah e^x lagi. Sayangnya, cara sederhana ini tidak dapat langsung dipakai dalam contoh ini, karena pangkatnya bukan x, melainkan −x. Jadi, fungsi tersebut harus diperlakukan sebagai fungsi komposisi. Namun, pada langkah pertama kita tetap menguraikannya dengan rumus turunan hasil kali.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Polinomial di sebelah kiri kita turunkan dengan rumus biasa, sedangkan sisanya dibiarkan:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Sekarang kita harus menurunkan fungsi terakhir. Seperti sudah disebutkan, fungsi ini adalah fungsi komposisi, sehingga harus diturunkan dengan aturan turunan fungsi komposisi:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Jadi, turunan fungsi kita adalah sebagai berikut:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Bentuk e^−x tetap sama, karena turunan e^x adalah e^x lagi, dan pada langkah pertama rumus kita menurunkan fungsi luar dan membiarkan fungsi dalam tanpa diturunkan. Pada langkah kedua, hasil antara kita kalikan dengan turunan argumen fungsi, yaitu fungsi −x. Turunan fungsi −x adalah −1. Sekarang tinggal kita substitusikan hasil ini ke bentuk sebelumnya:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Contoh kedua

Soal contoh kedua:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Di sini ada pecahan dengan satu fungsi di pembilang dan fungsi lain di penyebut. Jadi, pada langkah pertama kita menurunkan dengan rumus turunan hasil bagi. Setelah rumus diterapkan, diperoleh:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Kita kerjakan dari belakang. Pertama, kita turunkan tangen, karena tangen dapat diturunkan langsung dengan rumus dasar. Berlaku

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Setelah rumus ini diterapkan pada pembilang pecahan, diperoleh

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Sekarang kita perlu menurunkan logaritma. Sayangnya, di dalam logaritma ada fungsi lain, sehingga kita mendapat fungsi komposisi dan logaritma harus diturunkan sebagai fungsi komposisi. Turunan logaritma sendiri adalah 1/x, tetapi x diganti dengan argumen logaritma, yaitu kosinus. Hasilnya masih harus dikalikan dengan turunan argumennya, yaitu turunan kosinus. Jadi, turunan logaritma adalah sebagai berikut:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Kita memperoleh pecahan yang cukup sederhana. Jika kamu masih ingat trigonometri, kamu tahu bahwa pecahan ini sama dengan tangen. Jadi, seluruhnya sama dengan minus tangen:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Kita substitusikan hasil ini ke hasil sebelumnya:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Di pembilang ada dua kali tangen, sehingga dapat ditulis sebagai kuadrat tangen. Logaritma dapat dipindahkan ke pembilang pecahan berikutnya.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Sekarang pembilangnya dapat dipisah sehingga diperoleh dua pecahan:

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Pada pecahan pertama, pembilang sama dengan penyebut, sehingga hasilnya 1. Pada pecahan kedua, pecahan di pembilang dapat dihilangkan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Sekarang tangen dapat diuraikan menjadi hasil bagi sin(x)/cos(x). Karena tangennya dikuadratkan, pembilang dan penyebut pecahan ini juga dikuadratkan. Setelah itu cos²x dapat langsung dicoret.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Inilah hasil akhir turunannya.

Contoh ketiga

Tentukan turunan fungsi

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Jika kurang jelas: semuanya adalah pangkat, yaitu “x pangkat x pangkat setengah”. Pada langkah pertama, kita ubah bentuknya dengan rumus berikut:

$$x=e^{\ln x}$$

Dengan rumus ini, x yang pertama dalam soal kita uraikan:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Sekarang kita pakai sifat perpangkatan berikut:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Tanda kurung kita hilangkan, lalu pangkat teratas kita kalikan dengan logaritma:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Sekarang fungsinya berbentuk lebih mudah untuk diturunkan. Fungsi ini adalah fungsi komposisi dan diturunkan sebagai fungsi komposisi. Fungsi pertama adalah e^x, dengan x diganti seluruh pangkatnya, dan fungsi kedua adalah pangkat tersebut. Setelah diuraikan, diperoleh:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Bentuk di dalam tanda kurung kita turunkan sebagai hasil kali, sehingga kita pakai rumus turunan hasil kali.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Turunan logaritma adalah 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Sekarang kita turunkan bentuk kedua dengan rumus biasa untuk turunan fungsi pangkat. Jadi,

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Hasil ini kita substitusikan ke perhitungan kita:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Hasil kali pertama masih dapat disederhanakan, lagi-lagi dengan sifat-sifat perpangkatan:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Dengan hasil perhitungan ini, bentuk sebelumnya kita tulis ulang:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Terakhir, logaritma kita pindahkan ke pembilang pecahan:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Pembilang dan penyebut pecahan pertama dapat dikalikan dengan 2, lalu kedua pecahan dijumlahkan:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Sekarang kita kembali ke turunan secara keseluruhan:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Bentuk e^{ln x} kita ganti kembali dengan x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Dengan demikian, kita memperoleh hasil akhirnya.