Limit barisan

Limit barisan adalah bilangan yang didekati oleh suatu barisan di tak hingga. Limit barisan merupakan semacam pengantar menuju limit fungsi, yang sangat penting dalam analisis matematika.

Pengantar singkat tentang limit

Limit barisan adalah bilangan yang terus-menerus didekati oleh suatu barisan bilangan (dan mungkin akhirnya juga dicapai). Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan gambar. Gambar berikut menunjukkan barisan dengan rumus $a_n=\frac{1}{n}$:

Pada gambar terlihat bahwa suku-suku barisan makin lama makin dekat ke nol. Makin besar n, makin kecil nilai a_n dan makin dekat ke nol. Grafiknya tidak pernah menyentuh sumbu mendatar karena persamaan 1/n = 0 tidak pernah benar (dengan n bilangan asli). Meskipun begitu, kita ingin tahu bilangan apa yang didekati oleh barisan ini. Pertanyaannya dapat dirumuskan seperti ini: jika n terus diperbesar, bilangan apa yang didekati oleh nilai suku barisan? Jika n menuju tak hingga, berapa nilai suku barisan? Itulah yang dipelajari dalam limit. Limit ditulis dengan lambang lim. Pada indeks bawahnya kita tuliskan bilangan yang didekati oleh n. Pada barisan, bilangan itu selalu tak hingga. Penulisan lengkapnya misalnya seperti ini:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Dibaca: “Limit barisan satu per n untuk n menuju tak hingga sama dengan nol.” Berikut beberapa contoh sederhana lainnya. Berapa limit barisan a_n = n? Barisan ini sederhana: a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766, dan seterusnya. Bilangan apa yang didekati suku-sukunya di tak hingga? Makin besar n, makin besar a_n, sehingga limitnya tak hingga.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Secara intuitif, kamu mungkin sudah menduga bahwa limit barisan a_n = n² juga tak hingga. Barisan ini bahkan naik lebih cepat daripada barisan sebelumnya. Sebaliknya, barisan $a_n=\frac{1}{2n}$ turun menuju nol lebih cepat daripada barisan contoh pertama.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Definisi limit berhingga barisan

Sekarang saatnya kita mendefinisikan limit barisan dengan cermat.

Barisan ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ mempunyai limit berhingga a (konvergen ke limit a ∈ ℝ, disebut barisan konvergen) jika untuk setiap ϵ > 0 terdapat n₀ ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk semua n>n₀ berlaku |a_n − a| < ϵ.

Penulisan yang biasa dipakai adalah:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{ untuk }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Definisinya cukup rapi, sekarang mari kita jelaskan maknanya. Untuk itu kita memerlukan gambar suatu barisan. Kita pilih, misalnya, barisan berikut:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

Grafiknya:

Dari grafik terlihat jelas bahwa barisan ini konvergen ke 5, artinya limitnya adalah 5. Sebelum menjelaskan definisi limit dengan barisan ini, saya tambahkan sedikit warna pada grafiknya:

Kita sudah tahu bahwa limit barisan ini adalah 5. Bagian pertama definisi menyebut ϵ>0, yaitu suatu bilangan epsilon yang lebih besar daripada nol. Di sini epsilon menyatakan persekitaran limit, yaitu persekitaran suatu titik. Epsilon harus lebih besar daripada nol karena persekitaran tidak mungkin negatif atau nol. Pada gambar, persekitaran ini ditunjukkan oleh garis-garis hijau mendatar pada sumbu y. Titiknya adalah nilai 5, dan persekitarannya dibatasi oleh garis-garis hijau pada sumbu y tersebut. Persekitaran dibentuk ke dua arah, ke atas dan ke bawah. Pita khayal yang dibatasi garis-garis hijau mendatar inilah yang sekarang kita perlukan. Pada gambar, ϵ = 1.

Tujuan kita adalah menemukan bilangan n₀ pada sumbu mendatar yang membagi sumbu itu menjadi dua bagian. Syaratnya, semua suku barisan di sebelah kanan n₀ harus berada di dalam pita hijau. Letak suku-suku di sebelah kiri n₀ tidak penting, dan kita tidak perlu mencari n₀ terkecil yang memenuhi definisi. Pada gambar, n₀ = 12.

Apa sebenarnya arti suku barisan berada di dalam pita hijau? Artinya, jaraknya dari limit (dalam contoh ini dari bilangan 5) paling besar epsilon. Itulah tepatnya isi definisi: |a_n − a|<ϵ. Ingat, a menyatakan limit, sehingga dalam contoh kita a = 5. Mari kita hitung nilai suku kelima belas:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Sekarang kita substitusikan ke hubungan |a_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Pertidaksamaannya benar, jadi titik ini memenuhi definisi. Bilangan 0,3125 menyatakan jarak antara suku kelima belas dan limit barisan. Pada gambar, jarak ini ditandai dengan ruas garis ungu yang pendek. Jika kita menguji semua bilangan yang lebih besar daripada n₀ dengan cara yang sama, pertidaksamaan ini selalu benar. Jadi, bilangan a = 5 memenuhi definisi limit barisan ini.

Namun, definisi tersebut memuat satu hal penting. Di situ dikatakan bahwa untuk setiap ϵ>0 kita dapat menemukan bilangan n₀. Jadi, untuk epsilon sebesar apa pun, dan terutama untuk epsilon sekecil apa pun. Seberapa pun kecilnya epsilon (asalkan tetap positif), kita harus tetap dapat menemukan n₀.

Mari kita perkecil epsilon. Apa yang terjadi? Pita hijau yang harus dimasuki suku-suku barisan menjadi lebih sempit. Hal ini sama sekali tidak menjadi masalah: kita cukup memperbesar nilai n₀, yaitu menggesernya ke kanan. Penyempitan dan pergeseran ini diperlihatkan pada gambar berikut:

Pergeseran ini menggambarkan perilaku limit dengan baik. Dari limit kita mengharapkan bahwa suku-suku barisan makin lama makin dekat kepadanya, artinya jaraknya dari limit terus mengecil. (Jarak dari limit adalah yang baru saja kita hitung, yaitu garis ungu pada gambar.) Jika jaraknya terus mengecil dan suku-sukunya mendekati limit, suatu saat suku-suku itu pasti berjarak kurang dari epsilon dari limit. Dengan demikian kita menemukan nilai n₀. Sebaliknya, jika epsilon diperbesar, kita boleh memilih n₀ yang lebih kecil:

Di awal saya menyebutkan bahwa barisan terus mendekati limitnya, tetapi tidak pernah menyentuhnya. Namun, barisan bisa saja menyentuh limitnya, bahkan mencapai nilai limitnya tak hingga kali. Misalnya, barisan konstan a_n = 1 bernilai 1 di setiap titik, dan limitnya juga 1.

Contoh barisan yang tidak mempunyai limit

Mari kita ubah barisan tadi sehingga sesuai dengan grafik berikut (rumusnya sendiri saat ini tidak penting):

Barisan ini berperilaku sama seperti sebelumnya, kecuali suku ke-10, ke-20, ke-30, dan seterusnya (misalkan suku-suku ini selalu sama dengan 3,5, tidak naik dan tidak turun). Suku-suku tersebut seakan keluar dari irama. Pada gambar saya menggambar dua persekitaran, epsilon satu dan dua. Terlihat bahwa untuk ϵ₂ (persekitaran epsilon yang lebih besar) kita dapat menemukan n₀ sehingga semua suku berikutnya berada di dalam pita hijau. Namun, jika epsilon diperkecil menjadi ϵ₁, kita tidak lagi dapat menemukan n₀ seperti itu, karena setiap suku kesepuluh berada di luar persekitaran ini. Barisan ini tidak mempunyai limit di 5 (dan juga tidak di tempat lain).

Contoh limit lainnya

Contoh barisan yang tidak mempunyai limit sama sekali adalah a_n = sin n, yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Barisan ini tidak konvergen ke bilangan mana pun karena suku-sukunya terus turun dan naik. Barisan seperti ini disebut barisan divergen.

Sejauh ini kita hanya melihat barisan konvergen yang mendekati limitnya dari satu sisi. Namun, barisan juga dapat mendekati limitnya dari dua sisi, seperti barisan berikut:

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Barisan ini juga konvergen ke nol.

Limit tak hingga

Sejauh ini kita membahas limit berhingga, yaitu kasus ketika barisan mendekati suatu bilangan real. Lalu bagaimana dengan barisan a_n = n? Bilangan real apa yang didekatinya? Perhatikan grafiknya:

Jelas barisan ini tidak mendekati bilangan real mana pun, tetapi naik melampaui setiap batas, naik menuju tak hingga. Barisan seperti ini mempunyai limit tak hingga. Definisi limit tak hingga cukup sederhana. Apa artinya barisan naik menuju tak hingga? Artinya, untuk sembarang bilangan real A, sebesar apa pun, kita selalu dapat menemukan indeks n₀ sehingga semua suku barisan sesudah suku tersebut lebih besar daripada A. Singkatnya, jika kita memilih batas A, mulai dari bagian tertentu barisan, semua sukunya lebih besar daripada A. Secara matematis ditulis:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Di awal ada “untuk setiap A”, yaitu untuk setiap batas yang mungkin kita pilih. Kemudian ada kuantor eksistensial yang menyatakan bahwa harus terdapat indeks n₀ sedemikian sehingga jika n lebih besar daripada n₀, nilai suku a_n lebih besar daripada batas A yang dipilih di awal. Definisi limit minus tak hingga serupa.

Cara menghitung limit

Kita sudah mengenal beberapa cara dasar untuk menghitung limit barisan. Berbagai variasi barisan a_n = n, misalnya

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

mempunyai limit plus tak hingga. Sebaliknya, barisan seperti

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

mempunyai limit nol. Sekarang kita tuliskan beberapa aturan dasar untuk menghitung dengan barisan. Misalkan berlaku

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Maka berlaku juga hubungan-hubungan berikut:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Rumus pertama dapat dipakai pada contoh berikut:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Bagaimana jika soalnya seperti ini?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Di sini muncul masalah, karena pembilangnya menuju tak hingga dan penyebutnya juga menuju tak hingga. Jika pembilang dan penyebut sama-sama tak hingga, diperoleh bentuk tak tentu. Kita tidak dapat menentukan nilai bentuk berikut:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Tugas kita adalah mengubah bentuknya sehingga bentuk tak tentu ini tidak muncul. Jika kita berhasil menghilangkan variabel n dari penyebut atau pembilang, kita bisa memperoleh bentuk yang hanya memuat satu tak hingga.

Pertama, setiap suku kita bagi dengan variabel n. Dengan kata lain, pecahan kita kalikan dengan 1/n per 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Penyebutnya tidak lagi memuat variabel n, sehingga penyebut tidak menuju tak hingga. Menurut rumus-rumus sebelumnya, limit ini dapat dipecah menjadi beberapa limit yang lebih kecil: kita hitung limit setiap bagian secara terpisah, lalu hasilnya dijumlahkan dan dibagi.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Sekarang semua limitnya sudah dapat kita hitung. Mari kita hitung.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Limit barisan ini adalah 1,5.

Mari kita coba contoh lain:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Di sini kita bisa memakai cara yang sama seperti tadi atau mencoba bernalar. Fungsi n² menarik barisan ke atas jauh lebih cepat daripada fungsi n menariknya ke bawah. Fungsi n² jauh lebih kuat, sehingga limit seluruh bentuk adalah tak hingga. Mari kita buktikan juga dengan perhitungan. Sekali lagi, setiap suku kita bagi dengan n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Mengapa kita membagi dengan n, bukan misalnya dengan n² yang juga muncul dalam bentuk tersebut? Seperti kita ketahui, tujuan kita adalah menghilangkan variabel tertentu. Namun, nilai penyebut tidak boleh nol, karena kita akan kembali memperoleh bentuk tak tentu. Pecahan harus dikalikan dengan bentuk yang tidak membuat penyebutnya menjadi nol. Dalam contoh ini, artinya kita membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut.

Jadi, dapat dikatakan bahwa limit ditentukan oleh fungsi yang tumbuh jauh lebih cepat. Namun, perhatikan tanda. Ketika menghitung dengan tak hingga pun, tanda harus tetap diperhatikan:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$