부분적분법

부분적분법은 곱의 꼴인 함수의 부정적분을 구할 때 쓴다.

공식 이끌어 내기

익숙한 미분 공식에서 출발한다.

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

함수 u와 v가 어떤 구간 J에서 미분가능하다고, 즉 u′과 v′이 존재한다고 하자. 이제 양변을 적분한다. 그러면 다음을 얻는다.

$\int (u \cdot v)^{'} = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

어떤 함수를 미분한 다음 다시 적분하면 (상수 c를 빼면) 원래 함수를 얻으므로 좌변에서 적분과 미분을 없앨 수 있다.

$u \cdot v = \int u^{'} \cdot v + \int u \cdot v^{'}$

함수 v를 미분한 쪽의 적분을 한쪽으로 모은다.

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

즉 함수 $u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$ 는 함수 u · v′의 부정적분이다. 앞으로 이것을 이용한다.

첫 번째 예제

부분적분법을 어떻게 쓰는지 예로 보자. 다음 적분을 구한다.

$\int x \cdot \cos x d x$

이런 종류의 예제는 부정적분의 기본 글에서 소개한 보통의 방법으로는 풀 수 없다. 주어진 함수가 곱의 꼴이므로 부분적분법을 쓴다.

다음 공식에는

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

함수 u와 v가 있고, 이를 알맞게 골라야 한다. 이제 무엇을 해야 할까? 앞의 공식에 따라 적분 $\int u \cdot v^{'}$ 은 구할 수 있다. 그런데 문제에는 그런 것이 없고 x · cos x가 있을 뿐, 공식이 요구하는 v의 도함수는 어디에도 없다. 그래서 함수 x · cos x를 두 함수의 곱으로 나누어야 한다. 한 함수는 u, 다른 함수는 v′이라고 정한다.

알맞게 고르는 것이 아주 중요하다. 잘못 고르면 오히려 과정이 복잡해진다. 앞의 공식을 쓰면 우변에 무엇이 나오는지 보자. 식 u · v는 문제가 없지만 적분 $\int u^{'} \cdot v$ 를 구해야 한다. 그래서 함수 u는 미분할 수 있어야 하고 함수 v′은 적분할 수 있어야 한다.

함수를 다음과 같이 고른다.

$u = x, v^{'} = \cos x$

이렇게 좌변을 얻었다. 좌변의 적분에는 곱 u · v′이 그대로 들어 있기 때문이다. 우변에는 곱 u · v와 또 다른 적분이 있다. 그래서 u′과 v를 구해야 한다. u의 도함수는 간단하다.

$u^{'} = x^{'} = 1$

이제 v′에서 v를 구해야 한다. 즉 v′을 적분한다. 다시 말하면, v′ = cos x로 정했다. 그런데 등식의 우변에서는 미분하지 않은 값 v를 다룬다. 즉 등식 우변의 피적분함수에 있는 v를 미분하면, 좌변에서 고른 v′이 나와야 한다. 그래서 미분하면 cos x가 되는 함수를 찾는다. 다시 말해 v′을 적분한다.

$v = \int v^{'} = \int \cos x = \sin x$

지금까지 아는 것을 표로 적는다.

$[\begin{matrix} u = x, & v^{'} = \cos x \\ u^{'} = 1, & v = \sin x \end{matrix}]$

이 표에서 다음 공식에 대입하면

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v,$

다음을 얻는다.

$\int x \cdot \cos x d x = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x$

적분을 더 쉽게 풀 수 있는 다른 꼴로 바꿀 수 있었다. 식 x · sin x는 더 바꾸지 않고, 오른쪽의 적분만 구하면 된다. 이것은 적분 공식으로 바로 구할 수 있는 간단한 적분이다.

$\int \sin x d x = - \cos x + c$

따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\begin{array}{rcl} \int x \cdot \cos x d x & = & x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x d x \\ = & x \cdot \sin x - (- \cos x) \\ = & x \cdot \sin x + \cos x + c \end{array}$

이것이 결과이다.

함수를 잘못 고른 경우

이 예제에서 함수 u와 v′을 다르게 고르면 어떻게 되는지도 보자. 앞에서는 다음과 같이 골랐다.

$u = x, v^{'} = \cos x,$

그러니 이번에는 반대로 해 보자.

$u = \cos x, v^{'} = x$

값 u′과 v를 구한다. 그러면 다음을 얻는다.

$u^{'} = (\cos x)^{'} = - \sin x$

이제 v′을 적분한다.

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + c$

표로 적는다.

$[\begin{matrix} u = \cos x, & v^{'} = x \\ u^{'} = - \sin x, & v = \frac{x^{2}}{2} \end{matrix}]$

공식에 대입한다.

$\int x \cos x = \cos x \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int - \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$

별로 도움이 되지 않았다. 문제에는 x · cos x의 적분이 있었는데, 부분적분법으로 적분 $- \sin x \cdot \frac{x^{2}}{2}$ 에 이르렀다. 이렇게 고르면 안 된다.

함수 u와 v'을 고르는 방법

아쉽게도 모든 경우에 통하는 규칙은 없고, 감각이 조금 필요하다. 그 함수들로 앞으로 무엇을 할지 보는 것도 도움이 된다. 출발점이 되는 기본 공식은 다음과 같다.

$\int u \cdot v^{'} = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v$

곱의 꼴인 함수 f를 적분할 때는 f = u · v′이 되도록 함수 u와 v′으로 나누려고 한다. 부분적분법의 목표는 우변의 적분 $\int u^{'} \cdot v$ 가 좌변의 적분보다 간단해지게 하는 것이다. 식 u · v는 별로 상관없고, 얼마나 복잡해도 된다.

우변의 적분이 간단해지려면 u로 미분하면 간단해지는 함수를 고르는 것이 좋다. 대표적으로 xⁿ 꼴의 함수이다. 미분하면 차수가 하나 낮아진다. 예를 들어 x²에서는 2x를, x에서는 1을 얻는데, 이것이 가장 이상적이다.

반대로 v′으로는 적분해도 복잡해지지 않는 것을 고르려고 한다. 보통 v′을 적분해서 더 간단한 함수를 얻기는 기대하기 어렵지만, 비슷하게 복잡한 함수는 기대할 수 있다. 대표적인 것이 사인과 코사인이다. 하나를 적분하면 다른 하나가 되므로 상관없다.

두 번째 예제

조금 더 복잡한 예를 보자.

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x$

함수 e^x의 적분은 다시 e^x이므로 적분할 함수로 이상적인 후보이다. 반대로 x²을 미분하면 더 간단한 식 2x를 얻는다. 그래서 함수를 다음과 같이 고른다.

$u = x^{2}, v^{'} = e^{x}$

표 전체는 다음과 같다.

$[\begin{matrix} u = x^{2}, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2 x, & v = e^{x} \end{matrix}]$

공식에 대입한다.

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

더 간단한 적분을 얻었지만 아직 완전히 구할 수는 없다. 부분적분법을 한 번 더 쓴다. 이제 다음 적분을 구한다.

$\int 2 x \cdot e^{x} d x$

방법은 앞 단계와 같다. 함수를 다음과 같이 고른다.

$[\begin{matrix} u = 2 x, & v^{'} = e^{x} \\ u^{'} = 2, & v = e^{x} \end{matrix}]$

그러면 다음을 얻는다.

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - \int 2 e^{x} d x$

수 2를 적분 기호 밖으로 꺼내면 다음을 얻는다.

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot \int e^{x} d x$

그리고 e^x의 적분은 다시 e^x이다.

$\int 2 x \cdot e^{x} d x = 2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

이 결과를 앞의 등식에 다시 대입한다.

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - \int 2 x \cdot e^{x} d x$

대입하면 다음을 얻는다.

$\int x^{2} \cdot e^{x} d x = x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x})$

이제 결과를 조금 더 보기 좋은 꼴로 정리하기만 하면 된다. 먼저 괄호 안에 −1을 곱해서 괄호를 없애고, 그다음 e^x으로 묶는다.

$\begin{array}{rcl} \int x^{2} \cdot e^{x} d x & = & x^{2} \cdot e^{x} - (2 x \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}) \\ = & x^{2} \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{x} + 2 \cdot e^{x} \\ = & e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) \end{array}$

결과를 얻었다.

로그의 적분

부분적분법에서 빠지지 않는 단골 문제이다. 전설적인 적분 문제를 보자.

$\int \ln x d x$

이 적분이 흥미로운 것은 곱이 없는데도 부분적분법으로 푼다는 점이다. 간단히 로그에 1을 곱한다. 그러면 적분하는 함수는 바뀌지 않지만 곱이 생긴다.

$\int 1 \cdot \ln x d x$

함수 u와 v′은 어떻게 고를까? 함수 ln x는 아직 적분할 줄 모르므로(바로 그 적분을 구하는 중이다) 로그를 미분한다. 1을 적분한다. 그러면 다음을 얻는다.

$u = \ln x, v^{'} = 1$

로그의 도함수는 1/x이다.

$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

그리고 1의 적분은 x이다.

$\int 1 d x = x$

표를 채운다.

$[\begin{matrix} u = \ln x, & v^{'} = 1 \\ u^{'} = \frac{1}{x}, & v = x \end{matrix}]$

그리고 공식에 대입한다.

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x$

우변의 적분을 구한다.

$\int \frac{1}{x} \cdot x d x = \int 1 d x = x$

따라서 다음 결과를 얻는다.

$\int \ln x d x = x \cdot \ln x - x + c$

목차: 부정적분, 부분적분법, 치환적분법, 정적분

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