Integral substitusi

Metode substitusi adalah cara yang sangat ampuh untuk mengintegralkan. Ketika mengintegralkan, sebagian fungsi kita ganti dengan fungsi lain, lalu kita integralkan dan akhirnya kita kembalikan ke bentuk semula.

Rumus dasar

Misalkan F adalah antiturunan fungsi f pada interval J. Misalkan pula ϕ adalah fungsi real yang dapat diturunkan pada interval I, dengan ϕ(I) ⊆ J. Maka berlaku

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Bagaimana kita sampai dari ruas kiri ke ruas kanan?

Teorema ini kita pakai dengan memilih substitusi x = ϕ(t) dan mengganti variabel integrasi, yaitu dari dt menjadi dx. Turunan x terhadap t adalah $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, sehingga dx = ϕ′(t) dt. Integral di ruas kiri kita ubah dengan mengganti ϕ(t) dengan x dan seluruh hasil kali ϕ′(t) dt dengan dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Selanjutnya, menurut asumsi, F adalah antiturunan fungsi f, sehingga seluruh integral dapat kita ganti dengan fungsi F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Terakhir, kita lakukan substitusi balik: sebagai ganti x kita tulis ϕ(t) semula:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Dengan demikian, kita memperoleh kesamaan di awal:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Kurang lebih seperti inilah teorema ini akan kita pakai.

Contoh pertama

Hitunglah integral berikut:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Kita mengetahui rumus integral sin x (atau di sini sin t), tetapi tidak mengetahui rumus integral sin 6t. Karena itu, kita pakai substitusi, yaitu x = 6t. Menurut rumus sebelumnya, berlaku

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

dengan x = ϕ(t). Dalam kasus kita, f = sin dan ϕ(t) = 6t. Jadi, menurut rumus tersebut, berlaku hubungan

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

dengan x = 6t. Masalahnya, kita ingin menghitung integral sin 6t, bukan integral (sin 6t) · (6t)′. Bagaimana jalan keluarnya? Kita coba menurunkan fungsi 6t. Diperoleh:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Angka 6 adalah konstanta yang dapat dikeluarkan ke depan tanda integral:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Sekarang kedua ruas persamaan kita bagi dengan 6:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Di ruas kiri sudah ada fungsi semula yang ingin kita integralkan. Tinggal menghitung integral di ruas kanan. Integral sin x sama dengan −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Lalu x kita ganti kembali dengan 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Itulah hasil akhirnya.

Contoh pertama dengan cara yang lebih singkat

Cara tadi memang benar, tetapi substitusi biasanya ditulis sedikit berbeda. Sekali lagi soalnya:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substitusinya kita tulis di dalam kurung siku di belakang integral seperti ini:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Pada baris pertama kita tulis substitusinya, yaitu x = 6t. Sekarang kedua ruas kita turunkan: ruas kiri terhadap x dan ruas kanan terhadap t. Pada baris kedua kolom pertama selalu ada dx, karena turunan x selalu 1. Bentuk dx hanya menandakan bahwa kita menurunkan terhadap x.

Ruas kanan kita turunkan seperti biasa terhadap t. Diperoleh (6t)′ = 6, dan kita tambahkan dt karena kita menurunkan terhadap t. Agar pekerjaan lebih mudah, kita juga dapat menuliskan dt secara tersendiri:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Pada langkah berikutnya kita lakukan substitusinya. Apa diganti dengan apa? Kita ingin menulis x sebagai ganti 6t; itulah substitusi pertama. Karena kita memasukkan variabel baru x ke dalam fungsi, dt juga harus diganti. Sebagai ganti dt, kita substitusikan nilai yang sudah dinyatakan tersendiri pada baris ketiga, yaitu dx/6.

Ringkasnya: sebagai ganti 6t kita tulis x (baris pertama), dan sebagai ganti dt kita tulis dx/6 (baris ketiga). Diperoleh:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Dari sini langkahnya biasa saja. Angka 6 kita keluarkan ke depan tanda integral:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Kita integralkan sinusnya:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Lalu x kita ganti kembali dengan 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Contoh kedua

Hitunglah integral berikut dengan metode substitusi:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Integral tangen mungkin dapat ditemukan di tabel, tetapi kita juga bisa menghitungnya sendiri. Pertama, tangen kita uraikan menjadi hasil bagi sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Kita pilih substitusi x = cos t. Diperoleh:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Sekarang kita nyatakan dt secara tersendiri:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Sekarang kita dapat menyubstitusikannya ke dalam integral. Sebagai ganti cos t kita tulis x, dan sebagai ganti dt kita tulis −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Sedikit masalah: di dalam bentuk ini masih tersisa variabel integrasi lama t, yaitu di dalam sinus. Untungnya, kedua sinus saling menghapus, dan yang tersisa adalah:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Bentuk ini kita tulis ulang sedikit agar lebih rapi. dx kita pindahkan ke belakang pecahan, dan di pembilang kita tulis angka 1. Tanda minus kita pindahkan ke depan tanda integral:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integral 1/x sudah kita ketahui, yaitu logaritma. Jadi, diperoleh:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Lalu x kita ganti kembali dengan cos t semula.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Contoh ketiga

Hitunglah integral berikut dengan metode substitusi:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Mungkin kamu bingung karena integrannya memuat dua variabel, x dan t. Hal ini sama sekali tidak menjadi masalah: dari dt kita tahu bahwa kita mengintegralkan terhadap variabel t, sehingga x berperilaku sebagai konstanta. Jadi, tanpa ragu kita pindahkan x ke depan tanda integral:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Rumus untuk sin³ tidak banyak, tetapi untuk sin² ada beberapa, jadi fungsinya kita ubah seperti ini:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Sekarang sin² kita uraikan dengan rumus sin²t = (1 − cos²t). Diperoleh integral:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Sekarang kita lakukan substitusi. Variabel x sudah terpakai, jadi kita pakai misalnya y, yaitu y = cos t:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Kita nyatakan dt secara tersendiri:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Lalu kita substitusikan ke dalam integral:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sekali lagi, kedua sinus saling menghapus:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Integral ini sekarang dapat dipecah menjadi dua integral:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Semuanya sudah ada di tabel:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Sekarang y kita ganti kembali dengan cos t semula:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Inilah hasil akhirnya.