Contoh soal turunan dasar

Dalam artikel ini kita lebih dulu melihat beberapa rumus yang berguna untuk menghitung turunan, lalu mencoba menurunkan beberapa fungsi, baik yang sederhana maupun yang rumit. Jika kamu tidak mencari contoh soal, tetapi memerlukan penjelasan definisi turunan, bacalah artikel turunan fungsi.

Turunan polinomial

Pertama, kita bahas beberapa rumus yang kita perlukan untuk mencari turunan fungsi yang berbentuk polinomial. Di ruas kiri ada fungsi elementer yang ingin kita turunkan, dan di ruas kanan ada fungsi hasil penurunannya. Sebagai catatan, c adalah konstanta (jadi baris pertama memuat fungsi konstan), dan kita menurunkan terhadap x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Beberapa contoh konkret:

$$f(x)=5$$

Ini fungsi konstan, sehingga kita memakai rumus pertama dan memperoleh:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Menurut rumus kedua, turunan fungsi linear f(x) = x adalah

$$f^{\prime }(x)=1,$$

dan tidak ada lagi yang perlu dibahas. Karena itu, mari kita coba menurunkan fungsi

$$f(x)=x^5.$$

Kita pakai rumus terakhir dengan c sama dengan pangkatnya, yaitu c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Rumus ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Jadi, jika kita ingin menurunkan fungsi

$$f(x)=x^{-7},$$

diperoleh:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Untuk contoh-contoh berikutnya kita memerlukan rumus untuk penjumlahan dan perkalian fungsi. Jika kita ingin memperoleh kembali fungsi semula dari turunannya, kita memakai integral.

Turunan penjumlahan

Jika kita ingin menghitung turunan fungsi yang memuat beberapa suku yang dijumlahkan, kita cukup menghitung turunan setiap suku dan menjumlahkan hasil-hasilnya. Ditulis seperti ini:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Contoh sederhana: diberikan fungsi f(x) = x + 5. Turunan fungsi ini adalah

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Fungsi tersebut kita uraikan menjadi dua fungsi seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

lalu kita substitusikan ke rumus. Artinya, kita menghitung turunan fungsi f₁ dan f₂, lalu menjumlahkan hasilnya. Untuk pengurangan caranya persis sama. Contoh yang lebih rumit:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Sekali lagi kita cukup menurunkan ketiga suku satu per satu dan tetap menjumlahkannya:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Turunan hasil kali

Sayangnya, hasil kali tidak dapat diselesaikan semudah penjumlahan biasa. Untuk hasil kali dua fungsi kita harus memakai rumus yang sedikit lebih rumit:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Contoh sederhana fungsi yang memuat perkalian adalah

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Rumus perkalian memuat dua fungsi. Dari fungsi s(x) kita peroleh keduanya seperti ini: f(x) = 5 dan g(x) = x². Sekarang tinggal kita substitusikan:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Terlihat bahwa jika fungsinya berbentuk

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

maka turunannya adalah

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Aturan ini dapat diperumum lagi: sebagai ganti polinomial, kita dapat memakai fungsi apa saja. Jadi, untuk setiap fungsi f(x) berlaku

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Sebagai contoh, mari kita turunkan fungsi berikut:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Pertama, kita pakai aturan penjumlahan:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Suku-suku yang berbentuk perkalian kita uraikan menurut rumus terakhir:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Bentuk di dalam tanda kurung kita turunkan menurut aturan turunan x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Terakhir, kita kalikan koefisien-koefisiennya:

$$=15x^2-14x.$$

Turunan hasil bagi

Turunan hasil bagi sedikit lebih rumit daripada turunan hasil kali. Rumusnya:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Selebihnya, langkah-langkahnya mirip dengan hasil kali. Langsung saja ke contoh:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Pembilang pecahan adalah fungsi f(x), dan penyebutnya fungsi g(x). Sekarang tinggal kita substitusikan ke rumus:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Di penyebut ada kuadrat penyebut semula, dan di pembilang ada pecahan yang diuraikan menurut rumus. Sekarang kita turunkan bentuk di dalam tanda kurung pertama dan terakhir. Di sini kita memakai lagi aturan penjumlahan; langkah ini saya lewati dan langsung saya tuliskan hasilnya:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Bentuk ini masih dapat disederhanakan, tetapi hal itu tidak penting dalam bagian ini.

Turunan fungsi elementer

Sekarang kita tuliskan, tanpa penurunan, beberapa rumus turunan fungsi-fungsi yang sering dipakai.

Fungsi eksponensial dan logaritma:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({}^a\log x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Perhatikan bahwa turunan fungsi e^x adalah e^x lagi. Ini bukan salah ketik, melainkan sifat yang menyenangkan, yang sudah menjadi bahan banyak sekali lelucon matematika.

Fungsi trigonometri:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Contoh sederhana:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Kedua suku dijumlahkan, sehingga kita cukup menjumlahkan turunan kedua suku tersebut. Setiap suku diawali konstanta yang mengalikan fungsi di belakangnya. Kita tahu bahwa dalam hal ini kita cukup menurunkan fungsinya dan konstantanya dibiarkan. Mari kita kerjakan:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Sekarang tinggal memakai rumus dari tabel:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Turunan fungsi komposisi

Dari sifat-sifat turunan dan penerapannya dalam analisis grafik fungsi, kita tahu bahwa dalam kondisi tertentu dua fungsi yang dapat diturunkan, jika dikomposisikan, menghasilkan fungsi yang juga dapat diturunkan. Sekarang kita lihat cara menghitung turunan fungsi komposisi seperti itu.

Turunan fungsi komposisi mungkin merupakan konsep tersulit di antara turunan-turunan dasar ini. Fungsi dapat dikomposisikan. Penjelasan lebih lengkap tentang fungsi komposisi dapat kamu baca di artikel Apa itu fungsi atau Daerah asal fungsi. Secara kasar, artinya kita memasukkan suatu fungsi sebagai argumen fungsi lain. Secara simbolis ditulis h(g(x)). Contoh konkretnya adalah

$$f(x)=\sin (2x).$$

Dua fungsi apa yang ada di sini? Sinus dan fungsi dalam 2x. Kita tidak bisa begitu saja menerapkan rumus umum turunan sin(x) pada fungsi f, karena rumus itu mengandaikan bahwa argumennya x, bukan 2x. Turunan fungsi komposisi dihitung seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Artinya, kita menurunkan fungsi luar dengan argumen yang tetap sama, lalu mengalikannya dengan turunan fungsi dalam. Untuk contoh dengan sinus tadi, berlaku:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Tanda aksen yang hanya ada di atas sinus berarti kita hanya menurunkan sinusnya saja, bukan seluruh bentuk seperti pada ruas kiri persamaan. Turunan sinus adalah kosinus, jadi sinus cukup kita ganti dengan kosinus. Turunan 2x adalah 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Contoh berikutnya sedikit lebih rumit.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Di sini ada satu fungsi dalam lagi. Fungsi luarnya kosinus, fungsi tengahnya logaritma, dan fungsi paling dalam adalah perpangkatan x². Kita tetap memakai rumus yang sama. Kita uraikan:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Kita hanya menurunkan kosinusnya, sedangkan argumen kosinus dibiarkan apa adanya, yaitu seluruh bentuk logaritma. Seluruh bentuk ini kemudian dikalikan dengan turunan argumennya, yaitu turunan logaritma. Setelah kosinus diturunkan, diperoleh:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Bentuk di sebelah kanan tidak berubah; kita baru menurunkan kosinus. Sekarang kita turunkan logaritma. Ini juga fungsi komposisi, sehingga rumus turunan fungsi komposisi kita terapkan lagi. Bentuk di sebelah kiri cukup kita salin:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Logaritma kita turunkan dengan argumen yang tetap sama, yaitu x². Seluruh bentuk ini masih harus dikalikan dengan turunan argumennya, yaitu turunan x². Turunan logaritma adalah pecahan 1/x, dengan x diganti argumen kita x², dan turunan x² adalah 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$