수열의 극한

수열의 극한은 수열이 한없이 이어질 때 가까워지는 수이다. 수열의 극한은 해석학에서 아주 중요한 함수의 극한으로 가는 길잡이이다.

극한에 대한 짧은 소개

수열의 극한은 어떤 수열이 끊임없이 가까워지는(또는 결국 도달하기도 하는) 수이다. 일반항이 $a_n=\frac{1}{n}$인 수열을 나타낸 그림을 보는 것이 가장 좋다.

그림에서 수열의 항이 0에 점점 더 가까워진다는 것을 알 수 있다. n이 클수록 a_n의 값은 작아지고 0에 더 가까워진다. 등식 1/n = 0은 결코 성립하지 않으므로(여기서 n은 자연수이다) 그래프는 가로축에 결코 닿지 않는다. 그래도 수열 전체가 어떤 수에 가까워지는지 알아볼 만하다. 질문은 이렇다. n을 끝없이 키우면 수열의 값은 어떤 수에 가까워질까? n을 무한대로 보내면 수열의 항은 어떤 값이 될까? 이것을 다루는 것이 바로 극한이다. 극한은 기호 lim으로 나타낸다. 아래에는 n이 어떤 수에 가까워지는지 쓰는데, 수열에서는 언제나 무한대이다. 전체를 쓰면 예를 들어 다음과 같다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

“n이 무한대로 갈 때 수열 n분의 1의 극한은 0이다”라고 읽는다. 다른 간단한 예를 몇 가지 더 보자. 수열 a_n = n의 극한은 무엇일까? a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766인 간단한 수열이다. 수열이 끝없이 이어지면 그 항은 어떤 수에 가까워질까? n이 클수록 a_n도 크므로 극한은 무한대이다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

수열 a_n = n²의 극한도 무한대라는 것을 직관적으로 짐작할 수 있다. 이 수열은 앞의 수열보다 더 빨리 커진다. 반대로 수열 $a_n=\frac{1}{2n}$은 첫 번째 예의 수열보다 더 빨리 0으로 줄어든다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

수렴하는 수열의 극한의 정의

이제 수열의 극한을 제대로 정의할 때이다.

수열 ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$가 극한값 a를 가진다(즉 극한값 a ∈ ℝ에 수렴한다)는 것은 모든 ϵ > 0에 대해 어떤 n₀ ∈ ℕ이 있어서, n>n₀인 모든 n에 대해 |a_n − a| < ϵ이 성립한다는 뜻이다.

다음과 같이 나타낸다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

멋진 정의이니 이제 설명해 보자. 그러려면 어떤 수열의 그림이 필요하므로 예를 들어 다음 수열을 고른다.

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

그 그래프는 다음과 같다.

그래프에서 이 수열이 5에 수렴한다는 것, 즉 이 수열의 극한이 5라는 것을 잘 알 수 있다. 이 수열로 극한의 정의를 보여 주기 전에 그래프에 색을 조금 더 칠하자.

이 수열의 극한이 5라는 것은 이미 안다. 정의의 첫 부분에서는 ϵ>0, 즉 0보다 큰 어떤 엡실론을 말한다. 여기서 엡실론은 극한의 근방, 즉 점의 근방을 나타낸다. 근방은 음수나 0일 수 없으므로 0보다 크다. 그림에서 이 근방은 y축 위의 가로 초록 선으로 나타냈다. 여기서 점은 값 5이고, 점의 근방은 y축 위의 초록 선이다. 근방 자체는 위아래 두 방향으로 정해진다. 이제 초록 가로선으로 둘러싸인 이 띠가 필요하다. 그림에서는 ϵ = 1이다.

목표는 아래쪽 가로축에서 그 축을 두 부분으로 나누는 수 n₀을 찾는 것이다. 이때 수 n₀보다 오른쪽에 있는 수열의 항은 모두 이 초록 띠 안에 있어야 한다. n₀보다 왼쪽에 있는 수가 어디에 있는지는 중요하지 않다. 정의를 만족하는 가장 작은 n₀을 찾을 필요는 없다. 그림에서는 n₀ = 12이다.

수열의 항이 초록 띠 안에 있다는 것은 실제로 무슨 뜻일까? 극한(이 경우 5)에서 떨어진 거리가 엡실론보다 작다는 뜻이다. 그리고 바로 이것이 정의가 말하는 |a_n − a|<ϵ이다. 값 a는 극한을 나타내므로 이 경우 a = 5이다. 열다섯째 항의 값을 구해 보자.

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=4.6875$$

이제 관계식 |a_n − a|<ϵ에 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |4.6875-5|& <& 1\\ 0.3125& <& 1\end{array}$$

부등식이 성립한다. 이 점은 정의를 만족한다. 수 0.3125는 수열의 열다섯째 항과 수열의 극한 사이의 거리를 나타낸다. 그림에서 이 거리는 짧은 보라색 선분으로 표시했다. n₀보다 큰 모든 수를 이렇게 확인해 보면 이 부등식이 계속 성립한다는 것을 알 수 있다. 따라서 수 a = 5는 이 수열의 극한의 정의를 만족한다.

그런데 정의에는 중요한 점이 하나 있다. 모든 ϵ>0에 대해 그 수 n₀을 찾을 수 있어야 한다는 것이다. 즉 아무리 큰 엡실론이든, 무엇보다 아무리 작은 엡실론이든 그래야 한다. 엡실론을 아무리 작은(하지만 여전히 양수인) 수로 줄여도 n₀을 찾을 수 있어야 한다.

그러면 엡실론을 더 작은 값으로 줄여 보자. 어떻게 될까? 들어가야 할 초록 띠가 좁아진다. 하지만 전혀 문제없다. n₀의 값을 키우기만, 즉 오른쪽으로 옮기기만 하면 된다. 다음 그림이 띠가 좁아지고 n₀이 옮겨지는 모습을 보여 준다.

이렇게 옮겨지는 모습이 극한의 성질을 잘 보여 준다. 극한에서는 수열의 항이 점점 극한에 가까워지고, 극한까지의 거리가 끊임없이 줄어들기를 기대한다. (극한까지의 거리는 조금 전에 계산한 것, 그림의 보라색 선이다.) 거리가 끊임없이 줄어 항이 극한에 가까워지면, 언젠가는 극한까지의 거리가 엡실론보다 작아지는 때가 온다. 그렇게 해서 n₀의 값을 찾는다. 반대로 엡실론을 더 크게 잡으면 n₀을 더 작게 잡을 수 있다.

처음에 수열은 극한에 끊임없이 가까워지지만 결코 닿지 않는다고 했다. 하지만 수열은 극한에 닿을 수도 있고, 극한값을 무한히 여러 번 가질 수도 있다. 예를 들어 상수수열 a_n = 1은 모든 항의 값이 1이고 극한도 1이다.

극한이 없는 경우

다음 그래프에 맞도록 수열의 정의를 바꿔 보자(식 자체는 지금은 중요하지 않다).

이 수열은 열째, 스무째, 서른째 항 등을 빼면 앞의 경우와 똑같다(이 항들은 언제나 3.5이고 커지지도 작아지지도 않는다고 하자). 이 항들은 말하자면 박자가 맞지 않는다. 그림에는 엡실론 1과 2의 두 근방을 그렸다. 보다시피 ϵ₂(더 큰 엡실론 근방)에 대해서는 그 뒤의 모든 항이 초록 띠 안에 있게 하는 n₀을 찾을 수 있다. 하지만 엡실론을 ϵ₁로 줄이면 그런 n₀을 더는 찾을 수 없다. 열 번째마다 오는 항이 이 근방 밖에 있기 때문이다. 이 수열은 점 5에서 극한을 갖지 않는다(그리고 다른 어디에서도 극한을 갖지 않는다).

다른 극한의 예

극한이 전혀 없는 수열의 예로 a_n = sin n이 있다. 다음 그림에 나타냈다.

이 수열은 어떤 수에도 수렴하지 않고, 항이 끊임없이 작아졌다 커졌다 한다. 이런 수열은 발산한다고 한다.

지금까지는 극한에 한쪽에서만 수렴하는 수열을 보았다. 하지만 다음 수열처럼 극한에 양쪽에서 가까워질 수도 있다.

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

이 수열도 0에 수렴한다.

무한대로 발산하는 경우

지금까지는 수열이 어떤 실수에 가까워지는 경우, 즉 수렴하는 경우를 다루었다. 그러면 수열 a_n = n은 어떨까? 이 수열은 어떤 실수에 가까워질까? 그래프를 보자.

분명히 어떤 실수에도 가까워지지 않고, 한없이 커져서 무한대로 간다. 이런 수열은 양의 무한대로 발산한다고 한다. 그 정의는 간단하다. 수열이 무한대로 커진다는 것은 무슨 뜻일까? 아무리 큰 실수 A를 고르더라도 언제나 어떤 첨자 n₀을 찾을 수 있어서, 그 항 뒤의 모든 항이 이 수 A보다 크다는 뜻이다. 즉 한계 A를 정하면 수열의 어느 부분부터는 모든 항이 이 A보다 크다. 수학적으로 쓰면 다음과 같다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

맨 앞의 “모든 A에 대해”는 정할 수 있는 모든 한계를 뜻한다. 그다음은 존재 기호로, 어떤 첨자 n₀이 있어서 n이 이 n₀보다 크면 항 a_n의 값이 처음에 정한 한계, 즉 A보다 크다는 뜻이다. 음의 무한대로 발산하는 경우도 비슷하게 정의한다.

극한을 구하는 방법

수열의 극한을 구하는 기본적인 방법을 이미 몇 가지 안다. 수열 a_n = n을 조금 바꾼 다음 수열들은

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

양의 무한대로 발산한다. 반대로 다음과 같은 수열은

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

0에 수렴한다. 이제 수열의 극한을 계산하는 기본적인 관계를 알아보자. 다음이 성립한다고 하자.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

그러면 다음 관계도 성립한다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

첫 번째 공식은 다음 예에 쓸 수 있다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

그러면 다음과 같은 예는 어떨까?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

여기서 문제가 생긴다. 분자의 식도 무한대로 가고 분모의 식도 무한대로 가기 때문이다. 분자와 분모가 모두 무한대이면 이른바 부정형이 된다. 다음 식이 무엇과 같은지 정할 수 없다.

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

이 부정형이 생기지 않도록 식을 바꾸는 것이 할 일이다. 분모나 분자에서 변수 n을 없애면 무한대가 하나뿐인 식을 얻을 수 있다.

먼저 각 항을 변수 n으로 나눈다. 즉 분자와 분모에 1/n을 곱한다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

분모에는 더 이상 변수 n이 없으므로 분모의 식은 무한대로 가지 않는다. 앞의 공식에 따라 극한 전체를 여러 작은 극한으로 나눌 수 있다. 각 식의 극한을 따로 구해 더하고 나누면 된다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

이제 모든 극한을 구할 수 있다. 구해 보자.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

이 수열의 극한은 1.5이다.

다른 예를 보자.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

여기서는 앞과 같은 방법을 쓰거나 논리적으로 생각해 볼 수 있다. 함수 n²은 함수 n이 수열을 끌어내리는 것보다 훨씬 빨리 수열을 끌어올린다. 함수 n²이 훨씬 강하므로 식 전체의 극한은 무한대가 된다. 계산으로도 확인해 보자. 이번에도 각 항을 n으로 나눈다.

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

식에 n²도 있는데 왜 n²이 아니라 n으로 나누었는지 몇 마디 덧붙이자. 알다시피 목표는 어떤 변수를 없애는 것이다. 하지만 분모의 값이 0이 되면 다시 부정형이 된다. 분모에 0이 생기지 않는 식으로 분자와 분모를 나누어야 한다. 이 경우에는 분모에서 지수가 가장 큰 식을 쓴다는 뜻이었다.

따라서 극한은 더 빨리 커지는(차수가 높은) 함수를 따른다고 말할 수 있다. 하지만 부호에 주의하자. 무한대를 다룰 때도 부호를 지켜야 한다.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$