Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số là số mà dãy số dần tới khi n tiến ra vô cực. Giới hạn của dãy số là bước chuẩn bị cho giới hạn của hàm số, một khái niệm có vai trò rất lớn trong giải tích toán học.

Giới thiệu ngắn về giới hạn

Giới hạn của dãy số là số mà một dãy số cho trước dần tới mãi (và có thể cuối cùng còn đạt tới). Dễ hiểu nhất là xem hình minh hoạ dãy số cho bởi công thức $u_n=\frac{1}{n}$:

Trên hình ta thấy các số hạng của dãy ngày càng gần 0. Khi n càng lớn thì u_n càng nhỏ và càng gần 0. Đồ thị không bao giờ chạm trục hoành, vì đẳng thức 1/n = 0 không bao giờ xảy ra (với n là số nguyên dương). Tuy vậy, điều đáng quan tâm là cả dãy dần tới số nào. Câu hỏi có thể đặt ra như sau: nếu cứ tăng n mãi thì giá trị của dãy dần tới số nào? Khi cho n dần tới vô cực, số hạng của dãy sẽ nhận giá trị gì? Đó chính là điều mà giới hạn trả lời. Ta kí hiệu giới hạn là $lim$. Ở chỉ số dưới ta ghi n dần tới số nào; với dãy số, n luôn dần tới vô cực. Ví dụ, ta có thể viết:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Đọc là: “Giới hạn của dãy số $\frac{1}{n}$ khi n dần tới vô cực bằng 0.” Thêm vài ví dụ hiển nhiên: Giới hạn của dãy số u_n = n bằng bao nhiêu? Đây là dãy đơn giản với u₁ = 1, u₄₂ = 42, u₅₈₇₆₆ = 58766, v.v. Các số hạng của dãy dần tới số nào khi n dần tới vô cực? Khi n càng lớn thì u_n càng lớn, nên giới hạn là vô cực.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Có lẽ bạn đoán được ngay rằng giới hạn của dãy số u_n = n² cũng là vô cực. Dãy này còn tăng nhanh hơn dãy trước. Ngược lại, dãy số $u_n=\frac{1}{2n}$ giảm về 0 còn nhanh hơn dãy ví dụ đầu tiên.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

Đã đến lúc định nghĩa chặt chẽ giới hạn của dãy số.

Dãy số thực (u_n) có giới hạn hữu hạn a (hội tụ đến giới hạn a ∈ ℝ, là dãy hội tụ) nếu với mọi ϵ > 0 tồn tại n₀ ∈ ℕ sao cho với mọi n>n₀ ta có |u_n − a| < ϵ.

Các cách viết thường dùng:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$$

$$u_n\to a\text{ khi }n\to \mathrm{\infty }$$

$$(u_n)\to a$$

Định nghĩa thì gọn đẹp, giờ ta giải thích nó. Muốn vậy ta cần hình vẽ của một dãy số nào đó, chẳng hạn dãy sau:

$$u_n=\frac{5n}{n+1}$$

Và đồ thị của nó:

Từ đồ thị dễ thấy dãy hội tụ đến 5, tức là giới hạn của dãy bằng 5. Trước khi dùng dãy này để minh hoạ định nghĩa giới hạn, tôi tô thêm ít màu vào đồ thị:

Ta đã biết giới hạn của dãy này là 5. Phần đầu định nghĩa nói về ϵ>0, tức là một số epsilon lớn hơn 0. Ở đây epsilon xác định một lân cận của giới hạn, lân cận của một điểm. Epsilon phải lớn hơn 0 vì lân cận không thể âm hay bằng 0. Trên hình, lân cận này được biểu diễn bằng các đường nằm ngang màu xanh lá trên trục tung. Điểm ở đây là giá trị 5, còn lân cận của điểm là phần nằm giữa các đường màu xanh lá trên trục tung. Lân cận được lấy về cả hai phía, lên trên và xuống dưới. Ta sẽ cần đến dải tưởng tượng giới hạn bởi hai đường nằm ngang màu xanh lá này. Trên hình, ϵ = 1.

Mục tiêu của ta là tìm trên trục hoành một số n₀ chia trục này thành hai phần, sao cho mọi số hạng của dãy nằm bên phải n₀ đều nằm trong dải màu xanh lá. Các số hạng bên trái n₀ nằm ở đâu không quan trọng, và ta cũng không cần tìm n₀ nhỏ nhất thoả mãn định nghĩa. Trên hình, n₀ = 12.

Một số hạng của dãy nằm trong dải màu xanh lá thực chất có nghĩa là gì? Nghĩa là khoảng cách từ nó đến giới hạn (ở đây là số 5) không vượt quá epsilon. Đó chính là điều định nghĩa phát biểu: |u_n − a|<ϵ. Xin nhắc lại, a là giới hạn, trong trường hợp này a = 5. Ta thử tính số hạng thứ 15:

$$u_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Thay vào hệ thức |u_n − a|<ϵ:

$$\begin{array}{rcl}|u_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Bất đẳng thức đúng, vậy điểm này thoả mãn định nghĩa. Số 0,3125 là khoảng cách giữa số hạng thứ 15 của dãy và giới hạn của dãy. Trên hình, khoảng cách này được đánh dấu bằng đoạn thẳng ngắn màu tím. Nếu kiểm tra như vậy với mọi số lớn hơn n₀, ta sẽ thấy bất đẳng thức luôn đúng. Do đó số a = 5 thoả mãn định nghĩa giới hạn của dãy này.

Định nghĩa còn có một điểm quan trọng. Nó nói rằng với mọi ϵ>0 ta đều tìm được số n₀ nói trên, tức là với epsilon lớn tuỳ ý, nhưng quan trọng hơn là với epsilon nhỏ tuỳ ý. Dù ta thu nhỏ epsilon đến đâu (miễn vẫn dương), ta vẫn phải tìm được n₀.

Vậy ta thử giảm epsilon xuống một giá trị nhỏ hơn. Điều gì xảy ra? Dải màu xanh lá mà các số hạng phải nằm trong đó hẹp lại. Điều đó không gây trở ngại gì: ta chỉ việc tăng n₀, tức là dời nó sang phải. Hình sau minh hoạ việc thu hẹp dải và dời n₀:

Việc dời n₀ này cho thấy rõ bản chất của giới hạn. Ta muốn các số hạng của dãy dần dần tiến gần giới hạn, khoảng cách từ chúng đến giới hạn ngày càng giảm. (Khoảng cách đến giới hạn là đại lượng ta vừa tính, đoạn màu tím trên hình.) Nếu khoảng cách cứ giảm mãi và các số hạng ngày càng gần giới hạn thì đến một lúc nào đó chúng phải cách giới hạn ít hơn epsilon. Khi đó ta đã tìm được n₀. Ngược lại, nếu chọn epsilon lớn hơn thì có thể chọn n₀ nhỏ hơn:

Ở đầu bài tôi nói rằng dãy số dần tới giới hạn của nó mãi mà không bao giờ chạm tới. Tuy nhiên dãy số hoàn toàn có thể đạt tới giới hạn, thậm chí có thể nhận giá trị bằng giới hạn vô số lần. Chẳng hạn dãy hằng u_n = 1 có mọi số hạng bằng 1 và giới hạn cũng bằng 1.

Minh hoạ dãy số không có giới hạn

Ta thử sửa dãy số sao cho nó có đồ thị như hình sau (công thức cụ thể lúc này không quan trọng):

Dãy này giống hệt dãy trước, trừ các số hạng thứ 10, 20, 30, v.v. (giả sử các số hạng này luôn bằng 3,5, không tăng cũng không giảm). Những số hạng này đi “lệch nhịp”. Trên hình tôi vẽ hai lân cận, ứng với epsilon thứ nhất và thứ hai. Ta thấy với ϵ₂ (lân cận lớn hơn) ta tìm được n₀ sao cho mọi số hạng sau đó đều nằm trong dải màu xanh lá. Nhưng khi giảm epsilon xuống ϵ₁ thì không còn tìm được n₀ như vậy nữa: cứ 10 số hạng lại có một số hạng nằm ngoài lân cận này. Vậy dãy này không có giới hạn bằng 5 (và cũng không có giới hạn ở đâu khác).

Thêm ví dụ về giới hạn

Một ví dụ về dãy số không có giới hạn là u_n = sin n, được biểu diễn trên hình sau:

Ta thấy dãy không hội tụ đến số nào, các số hạng cứ lúc giảm lúc tăng. Dãy như vậy gọi là dãy phân kì.

Cho đến giờ ta mới xét các dãy hội tụ tiến đến giới hạn từ một phía. Nhưng dãy số cũng có thể tiến đến giới hạn từ cả hai phía, như dãy sau

$$u_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Dãy này cũng hội tụ đến 0.

Giới hạn vô cực

Đến đây ta mới nói về giới hạn hữu hạn, tức là trường hợp dãy dần tới một số thực nào đó. Nhưng còn dãy u_n = n thì sao? Dãy này dần tới số thực nào? Hãy xem đồ thị:

Rõ ràng nó không dần tới số thực nào mà tăng lên vô hạn, dần tới dương vô cực. Ta nói dãy như vậy có giới hạn vô cực. Định nghĩa giới hạn vô cực rất đơn giản. Dãy dần tới vô cực nghĩa là gì? Nghĩa là dù chọn một số thực A lớn đến đâu, ta luôn tìm được chỉ số n₀ sao cho mọi số hạng của dãy đứng sau số hạng này đều lớn hơn A. Nói gọn, nếu chọn một ngưỡng A thì kể từ một chỗ nào đó trở đi, mọi số hạng của dãy đều lớn hơn A. Viết bằng kí hiệu toán học:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow u_n>A$$

Đầu tiên là “với mọi A”, tức là với mọi ngưỡng ta muốn chọn. Tiếp theo là lượng từ tồn tại: phải tồn tại chỉ số n₀ sao cho nếu n lớn hơn n₀ thì số hạng u_n lớn hơn ngưỡng A đã chọn từ đầu. Giới hạn âm vô cực được định nghĩa tương tự.

Các phương pháp tính giới hạn

Ta đã biết vài cách cơ bản để tính giới hạn của dãy số. Các biến thể của dãy u_n = n, chẳng hạn

$$u_n=2n,u_n=\frac{n}{2}$$

đều có giới hạn dương vô cực. Ngược lại, các dãy kiểu

$$u_n=\frac{1}{n},u_n=\frac{15}{4n}$$

có giới hạn bằng 0. Bây giờ ta nêu một số quy tắc cơ bản khi tính toán với giới hạn của dãy số. Giả sử

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Khi đó cũng có:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{u}_n+c_2{v}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n{v}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Công thức thứ nhất có thể áp dụng trong ví dụ sau:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

Còn với ví dụ như thế này thì sao?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Ở đây có vấn đề: biểu thức ở tử dần tới vô cực, biểu thức ở mẫu cũng dần tới vô cực. Khi cả tử và mẫu đều là vô cực, ta được một dạng vô định. Nói gọn, ta không thể xác định biểu thức sau bằng bao nhiêu:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

Nhiệm vụ của ta là biến đổi biểu thức để dạng vô định này không xuất hiện. Nếu khử được biến n ở mẫu hoặc ở tử, ta có thể nhận được biểu thức chỉ còn một vô cực.

Trước hết ta chia từng số hạng cho n, tức là nhân cả tử và mẫu với 1/n.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Ta thấy mẫu không còn chứa biến n, nên mẫu không còn dần tới vô cực. Theo các công thức trên, ta có thể tách giới hạn thành mấy giới hạn nhỏ hơn: tính riêng giới hạn của từng biểu thức rồi cộng và chia các kết quả.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Bây giờ ta đã tính được tất cả các giới hạn này. Ta tính:

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Giới hạn của dãy số này bằng 1,5.

Ta thử thêm một ví dụ:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Ở đây có thể làm như lần trước hoặc thử lập luận. Số hạng n² kéo dãy lên nhanh hơn nhiều so với việc n ở mẫu kéo dãy xuống. Số hạng n² “mạnh” hơn hẳn, nên cả biểu thức có giới hạn vô cực. Ta cũng thử tính. Lại chia từng số hạng cho n:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Vài lời giải thích vì sao ta chia cho n mà không chia cho n², cũng có mặt trong biểu thức. Như đã biết, mục tiêu là khử bớt biến. Nhưng mẫu không được dần tới 0, nếu không ta lại được một dạng vô định. Vì vậy ta nhân cả tử và mẫu với một biểu thức sao cho ở mẫu không xuất hiện 0. Trong trường hợp này, điều đó nghĩa là chia cho luỹ thừa có số mũ lớn nhất ở mẫu.

Có thể nói giới hạn do số hạng có bậc cao hơn, tức là tăng nhanh hơn, quyết định. Nhưng cần chú ý dấu: cả khi tính với vô cực cũng phải giữ đúng dấu:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$