Mengapa kita tidak bisa membagi dengan nol
Coba ketik 6:0 pada kalkulator. Kalkulator akan menolak dan menampilkan, misalnya, “Error” atau “E”, bukan hasil. Hal ini bukan karena keinginan guru atau pembuat kalkulator. Kita akan melihat beberapa alasan mengapa kita tidak bisa membagi dengan nol, dan semuanya sampai pada kesimpulan yang sama.
Pembagian adalah kebalikan perkalian
Saat menghitung 12:3, kita mencari bilangan yang jika dikalikan 3 menghasilkan 12. Bilangan itu adalah 4, karena
Jadi, 12:3 = 4. Begitulah pembagian didefinisikan, dan setiap hasil bagi bisa kita periksa dengan perkalian.
Sekarang cara yang sama kita pakai untuk nol. Jika 6:0 adalah suatu bilangan x, harus berlaku
Akan tetapi, bilangan apa pun dikalikan nol hasilnya nol. Hal ini kita ketahui dari perkalian dengan nol. Entah kita substitusikan x dengan satu, sejuta, atau minus tiga, hasilnya selalu nol dan tidak pernah enam. Bilangan x seperti itu tidak ada, sehingga pembagian 6:0 tidak punya hasil.
Berapa kali nol muat?
Pembagian juga bisa dipandang sebagai pengurangan berulang. Hasil bagi 12:3 menyatakan berapa kali 3 harus dikurangkan dari 12 sampai kita mencapai nol:
Bilangan 3 muat empat kali, jadi 12:3 = 4.
Sebaliknya, pada 6:0 kita terus-menerus mengurangkan nol dari 6. Setelah pengurangan pertama, sisanya 6. Setelah pengurangan kesepuluh, tetap 6, dan setelah pengurangan kesejuta, lagi-lagi 6. Lama-lama kita bosan sendiri. Kita tidak akan pernah sampai di nol, dan pengurangan bisa berlangsung tanpa akhir. Jadi, tidak ada banyak pengurangan tertentu yang bisa kita tulis sebagai hasil.
Apa yang terjadi di dekat nol
Kita tidak boleh membagi dengan nol, tetapi boleh membagi dengan bilangan yang sangat dekat ke nol. Ambil bilangan 1 dan bagilah dengan bilangan yang makin lama makin kecil:
Makin kecil pembaginya, makin besar hasilnya. Pembagi 0,000001 sudah menghasilkan sejuta, dan hasilnya naik tanpa batas.
Jika kita mendekati nol dari sisi negatif, misalnya 1:(−0,001) = −1.000, hasilnya makin lama makin kecil dan menuju negatif tak hingga. Grafik fungsi
Di sebelah kanan nol, kurvanya melesat ke atas. Di sebelah kiri nol, kurvanya terjun ke bawah. Jadi, dari kanan hasilnya mendekati tak hingga, sedangkan dari kiri mendekati negatif tak hingga. Setiap sisi menarik kita ke arah yang berbeda. Karena itu, “tak hingga” juga tidak cocok sebagai hasil 1:0. Jika ingin tahu lebih banyak, kamu bisa membaca artikel tentang limit sepihak, tempat perilaku seperti ini ditulis secara tepat.
Bukankah kita bisa saja menyebutnya tak hingga?
Mari kita coba dan lihat apa yang rusak. Misalkan 1:0 = ∞. Dengan cara berpikir yang sama, kita juga mendapat 2:0 = ∞, karena 2 yang dibagi dengan bilangan yang makin kecil juga naik tanpa batas.
Kedua hasil bagi ini sekarang kita periksa dengan perkalian, seperti di awal. Dari 1:0 = ∞ diperoleh ∞ · 0 = 1, dan dari 2:0 = ∞ diperoleh ∞ · 0 = 2. Ruas kiri pada kedua kasus sama, sehingga harus berlaku
Tentu saja ini salah. Jadi, tak hingga tidak bisa diperlakukan seperti bilangan biasa.
Namun, matematikawan tidak takut pada bilangan baru. Akar kuadrat dari minus satu tidak ada dalam bilangan real, maka mereka memperkenalkan bilangan baru i yang memenuhi i2 = −1. Dari situ lahirlah bilangan kompleks, dan penjumlahan, perkalian, serta perhitungan dengan tanda kurung tetap berlaku di dalamnya. Untuk pembagian dengan nol, cara ini tidak berhasil. Bagaimanapun bentuk bilangan barunya, jika aturan hitung yang biasa berlaku untuknya, kita selalu sampai pada sesuatu seperti 1 = 2, dan seluruh perhitungan menjadi kacau.
Bagaimana dengan nol dibagi nol?
Di sini masalahnya justru kebalikannya. Jika 0:0 = x, harus berlaku x · 0 = 0. Persamaan ini dipenuhi oleh setiap bilangan: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0, dan juga (−7) · 0 = 0. Hasilnya tidak tunggal, dan kita tidak tahu bilangan mana yang harus dipilih. Karena itu, hasil bagi 0:0 juga tidak didefinisikan. Penjelasan lebih lanjut ada di artikel tentang pembagian.
Bukti bahwa 1 = 2
Pembagian dengan nol bisa bersembunyi dengan cerdik. Ambil dua bilangan yang sama, a = b, yang tidak sama dengan nol, lalu ubahlah:
Ruas kiri kita faktorkan dengan rumus a2 − b2 = (a + b)(a − b), dan dari ruas kanan kita keluarkan faktor b:
Karena a = b, kita bisa mengganti a dengan b:
Setiap langkah tampak wajar, tetapi kita sudah “membuktikan” sesuatu yang mustahil. Di mana kesalahannya? Cobalah menemukannya sebelum membaca lebih lanjut.
Kesalahannya tersembunyi pada pembagian dengan a − b. Karena a = b, nilai a − b = 0, jadi seluruh persamaan sebenarnya kita bagi dengan nol. Karena itu, saat mengubah persamaan, kita selalu memeriksa apakah bentuk yang menjadi pembagi bisa bernilai nol. Sebaliknya, pembagian terakhir dengan b tidak bermasalah, karena b tidak sama dengan nol.