Polinomial

Polinomial adalah bentuk aljabar yang memuat variabel x serta operasi standar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan dengan pangkat bilangan bulat tak negatif. Polinomial juga bisa dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi, dan dipangkatkan. Di sekolah, polinomial disebut juga suku banyak.

Pengertian dasar

Contoh polinomial sederhana adalah polinomial berikut:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Secara umum, polinomial dapat ditulis seperti ini:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

dengan bilangan real di depan x, yaitu a_n, disebut koefisien, dan n disebut derajat polinomial. Bilangan n sama dengan pangkat tertinggi polinomial yang memenuhi a_n ≠ 0. Jika a_n sama dengan nol, variabel x yang memiliki koefisien itu pada dasarnya hilang, karena nol dikalikan apa pun hasilnya nol:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Jadi, derajat polinomial pertama di atas adalah dua, karena pangkat tertinggi variabel x yang koefisiennya tidak nol adalah dua. Untuk polinomial lain,

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

derajatnya 4 (pangkat tertingginya 4). Polinomial biasanya ditulis dengan pangkat yang menurun, sehingga suku dengan pangkat tertinggi berada di depan. Jadi, polinomial tadi bisa ditulis ulang seperti ini:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Terlihat bahwa polinomial ini tidak memuat suku yang variabelnya berpangkat tiga dan nol. Hal ini sama sekali tidak masalah. Kita cukup membayangkan bahwa koefisien suku-suku itu nol. Kita bisa menulis

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Sekarang semua suku memang sudah ada, tetapi polinomialnya justru jadi sulit dibaca. Karena itu, suku-suku nol biasanya tidak ditulis.

Penjumlahan dan pengurangan polinomial

Penjumlahan dan pengurangan polinomial cukup mudah. Kita hanya menjumlahkan atau mengurangkan koefisien suku-suku yang pangkatnya sama. Jadi, berlaku

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Contoh sederhana:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Jika ingin menjumlahkan polinomial yang lebih panjang, kita selalu memilih suku-suku yang pangkat variabelnya sama.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Jika suku dengan pangkat tertentu tidak ada di salah satu polinomial, suku itu tetap tidak berubah (bayangkan bahwa di polinomial kedua ada suku seperti itu, tetapi koefisiennya nol).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Pengurangan polinomial sama seperti penjumlahan, hanya saja polinomial kedua dikalikan minus satu, artinya semua tandanya dibalik. Berikut contohnya:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Bentuk ini sudah berupa penjumlahan polinomial biasa, jadi bisa dijumlahkan seperti biasa:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Ingat, jika polinomial kedua memuat suku negatif, setelah langkah ini suku tersebut menjadi positif.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Perkalian polinomial

Pada perkalian polinomial, setiap suku polinomial pertama dikalikan dengan setiap suku polinomial kedua. Koefisien dikalikan seperti biasa, seperti bilangan real pada umumnya. Sebaliknya, pangkat variabel hanya dijumlahkan sesuai aturan perhitungan bilangan berpangkat. Berikut contohnya:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Contoh ini masih memakai polinomial dengan satu suku, jadi belum memperlihatkan dengan jelas perkalian antara semua suku polinomial. Berikut contoh yang sedikit lebih panjang:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Jika polinomial memuat tanda minus, tanda itu ikut diperhitungkan dalam perkalian seperti biasa.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Menyederhanakan polinomial

Saat mengubah polinomial, biasanya kita ingin membuatnya lebih sederhana. Untuk itu kita memakai cara seperti memperluas, menyederhanakan, memfaktorkan, menerapkan rumus, dan sebagainya. Sebaiknya kamu hafal rumus-rumus ini. Di sini kita akan memakai beberapa di antaranya, dan setiap rumus akan disebutkan saat dipakai. Rumus klasik yang sering digunakan adalah

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Jika kamu ingin tahu dari mana rumus ini berasal, cukup jabarkan tanda kurungnya.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Kita mulai dengan contoh sederhana.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Kedua tanda kurung di sebelah kiri dijabarkan dengan rumus di atas. Ingat, tanda kurung kedua dijabarkan menjadi

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Rumus klasik berikutnya adalah

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Contoh kedua memuat pecahan. Pembilang dan penyebutnya berupa polinomial, dan kita akan mencoba mengubahnya sehingga seluruh pecahan bisa disederhanakan dengan rapi. Pada langkah pertama, rumus pertama kita terapkan pada pembilang, tetapi dari arah sebaliknya. Pada penyebut, kita terapkan rumus kedua. Terakhir, kita tinggal mencoret (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Pada contoh ketiga, kita mencoba memfaktorkan. Pada pembilang, kita keluarkan dulu faktor 3a³, lalu tanda kurung (4a² − 1) kita faktorkan dengan rumus a² − b². Di sini kita memanfaatkan fakta bahwa

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Pada penyebut, kita kalikan dulu dua suku pertama, lalu kita keluarkan juga faktor 3a³. Terakhir, semuanya kita sederhanakan.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Daftar isi: Polinomial, Pembagian polinomial oleh polinomial, Akar polinomial (suku banyak), Pemfaktoran polinomial

« Artikel sebelumnya: Mengapa kita tidak bisa membagi dengan nol

Artikel berikutnya: Pembagian polinomial oleh polinomial »