Pembagian bilangan
Pembagian bilangan adalah kebalikan dari perkalian bilangan. Pembagian juga sumber lelucon yang bagus, karena semua orang tahu bahwa kita tidak boleh membagi dengan nol, nanti buku tulis kita bisa terbakar.
Apa itu pembagian bilangan
Pembagian bisa kita bayangkan sebagai membagi sesuatu yang besar menjadi bagian-bagian kecil yang sama besar. Misalnya, seorang ayah perlu memotong papan sepanjang 100 cm menjadi lima bagian yang sama panjang. Berapa panjang setiap bagian?
Kita bisa berpikir terbalik: jika panjang kelima potongan dijumlahkan, hasilnya harus kembali 100. Bilangan berapa yang memenuhi syarat itu? Bilangan 20, karena 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Selain penjumlahan, kita juga bisa memakai perkalian. Kita bisa bertanya: bilangan berapa yang jika dikalikan lima hasilnya seratus? Jawabannya lagi-lagi 20, karena 5 · 20 = 100.
Secara gambar, hal ini bisa ditunjukkan sebagai pembagian ruas garis sepanjang 100 menjadi lima bagian yang sama panjang:
Jika kita ingin membagi 100 dengan 5, kita mencari tahu “berapa kali lima muat di dalam seratus”. Pembagian ditulis dengan garis miring, 100 / 5, atau dengan titik dua, 100 : 5. Hasil pembagian dua bilangan disebut hasil bagi. Dalam contoh kita, bilangan 20 adalah hasil bagi 100 dan 5. Bilangan di sebelah kiri disebut bilangan yang dibagi, sedangkan bilangan di sebelah kanan disebut pembagi. Pembagian juga bisa ditulis sebagai pecahan: 100 / 5 dapat ditulis
- a disebut bilangan yang dibagi,
- b disebut pembagi,
- c disebut hasil bagi.
Definisi dengan perkalian
Hasil bagi paling mudah didefinisikan dengan perkalian. Sebagai contoh, ambil hasil bagi 35 / 7. Berapa hasilnya? Kita mencari bilangan yang jika dikalikan 7 menghasilkan 35. Jika kita membagi 48 / 8, kita mencari bilangan yang jika dikalikan 8 menghasilkan 48.
Jadi, hasil 35 / 7 adalah 5, karena 7 · 5 = 35. Hasil 48 / 8 adalah 6, karena 8 · 6 = 48.
Secara umum, jika kita membagi a / b, hasilnya adalah bilangan c yang memenuhi b · c = a.
Semua contoh di atas memakai bilangan asli. Namun, berkat definisi dengan perkalian, kita bisa membagi bilangan apa pun. Misalnya, hasil bagi −85,76 / 6,7 bisa dicari dengan menemukan bilangan x yang memenuhi 6,7 · x = −85,76. Bilangan itu adalah x = −12,8.
Nol boleh dibagi dengan bilangan lain
Nol boleh dibagi dengan suatu bilangan. Bentuk ini sah: 0 / 15. Artinya, kita ingin membagi nol menjadi 15 bagian yang sama. Bayangkan kita tidak punya kue sama sekali, lalu kue yang tidak ada itu ingin kita bagi menjadi 15 potong. Berapa besar setiap potong? Nol, karena kuenya memang tidak ada. Atau bayangkan dompetmu berisi nol rupiah, dan kamu ingin membagi nol rupiah itu kepada tiga anak. Berapa yang diterima setiap anak? Tidak ada sama sekali, karena kamu memang tidak punya apa-apa. Jadi, 0 / 15 = 0.
Nol boleh dibagi dengan bilangan lain, tetapi bilangan lain tidak boleh dibagi dengan nol. Bentuk ini tidak sah: 8 / 0.
Mengapa kita tidak boleh membagi dengan nol?
Kita tidak boleh membagi dengan nol karena guru matematika kita melarangnya.
Tentu ada alasan yang lebih kuat. Untuk sementara, kita membahas kasus ketika bilangan yang dibagi tidak sama dengan nol, yaitu pembagian berbentuk a / 0 dengan a ≠ 0. Ada dua alasan:
- Kita tetap memakai gambaran membagi sesuatu menjadi bagian-bagian kecil yang sama besar. Kita punya 15 kartu koleksi yang paling keren. Sekarang kartu-kartu itu ingin kita bagikan kepada nol anak. Berapa kartu yang diterima setiap anak?
Hah???
Ya, kamu tidak salah baca, dan ya, soal itu memang tidak masuk akal. Kita tidak bisa bertanya berapa kartu yang diterima setiap anak, jika tidak ada satu anak pun yang bisa diberi kartu. Karena itu, pembagian dengan nol juga tidak masuk akal, dan kita mengatakan bahwa bentuk x / 0 tidak terdefinisi.
- Pembagian kita definisikan dengan perkalian. Jika kita mencoba membagi dengan nol, misalnya 15 / 0, kita mencari bilangan x yang memenuhi x · 0 = 15. Akan tetapi, bilangan apa pun dikalikan nol hasilnya nol, jadi kita tidak akan pernah menemukan x yang memenuhi persamaan ini.
Bagaimana dengan hasil bagi 0/0?
Bentuk ini juga tidak terdefinisi, sama seperti x / 0. Alasannya:
Kali ini kita punya nol kartu koleksi paling keren yang ingin kita bagikan kepada nol anak. Lagi-lagi, permintaan ini tidak masuk akal.
Menurut definisi pembagian, jika kita membagi 0 / 0, kita mencari bilangan x yang memenuhi x · 0 = 0. Penyelesaiannya ada. Lebih tepatnya, setiap bilangan real adalah penyelesaian persamaan ini. Entah kita substitusikan x dengan 4, 1, atau π, persamaannya tetap terpenuhi. Tentu saja hasil pembagian tidak boleh berupa seluruh himpunan bilangan real, karena hal itu tidak bermakna.
Kita harus memilih satu bilangan tertentu dari seluruh himpunan itu dan menyatakan bahwa bilangan itulah hasil pembagian 0 / 0. Namun, bilangan yang mana? Apakah satu? Delapan? Nol? Minus satu? Dan mengapa? Mari kita lihat argumen untuk nol dan untuk satu:
- Kita tahu bahwa pecahan berbentuk x / x sama dengan satu. Misalnya, 7 / 7 = 1 atau 3 / 3 = 1. Dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa 0 / 0 sebaiknya didefinisikan sehingga 0 / 0 = 1.
- Perhatikan barisan pecahan berikut, yang semuanya pasti sah. Pada setiap pecahan, nol dibagi dengan bilangan yang makin lama makin dekat ke nol:
Terlihat bahwa sedekat apa pun pembaginya dengan nol, hasil baginya selalu nol. Dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa 0 / 0 = 0.
Keduanya adalah argumen yang sah tentang cara mendefinisikan hasil bagi 0 / 0. Namun, mana yang lebih baik? Lagi pula, seandainya kita memilih salah satunya dan menyatakannya sebagai satu-satunya yang berlaku, kita tetap akan mendapat kontradiksi dengan bagian matematika yang lain.
Karena itu, pembagian dengan nol lebih baik dibiarkan tidak terdefinisi.
Argumen terakhir menentang pembagian dengan nol
Jika argumen-argumen sebelumnya belum cukup, mungkin dokumentasi foto berikut bisa meyakinkanmu. Foto ini menunjukkan apa yang terjadi ketika seseorang benar-benar mencoba membagi dengan nol:
