Penjumlahan dan pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan adalah operasi matematika paling dasar yang juga kita perlukan dalam kehidupan sehari-hari. Banyak struktur yang bisa dijumlahkan, tetapi di sini kita hanya akan membahas penjumlahan bilangan bulat.
Penjumlahan
Operasi penjumlahan ditandai dengan tanda plus +. Dalam penjumlahan, kita menjumlahkan suku-suku penjumlahan. Jadi, jika kita ingin menghitung 2 + 3, angka 2 dan angka 3 masing-masing disebut suku. Hasilnya disebut jumlah. Pada bentuk 2 + 3 = 5, angka 5 adalah jumlahnya.
Hampir semua jenis bilangan bisa dijumlahkan, baik bilangan asli seperti 1, 5, 157, maupun bilangan negatif seperti -4, -74. Kita juga bisa menjumlahkan bilangan rasional atau pecahan, bilangan real seperti π, dan bahkan bilangan kompleks. Struktur lain pun bisa dijumlahkan, misalnya matriks atau vektor.
Penjumlahan biasanya dijelaskan dengan setumpuk apel. Jika di keranjangmu ada tiga apel dan seseorang memberimu empat apel lagi, berapa banyak apelmu sekarang? Apelmu menjadi 3 + 4 = 7.
Cara menjumlahkan bilangan besar
Jika kamu diminta menjumlahkan 17.564 dan 3.272, mungkin kamu tidak bisa langsung menyebutkan hasilnya di luar kepala. Karena itu, orang memakai kalkulator atau pensil dan kertas. Cara memakai kalkulator tidak akan dibahas di sini. Kita akan fokus pada cara menghitung di kertas, yaitu penjumlahan bersusun.
Tulis kedua bilangan yang akan dijumlahkan bersusun ke bawah dan ratakan ke kanan, sehingga nilai tempat yang sama (puluhan, ratusan, …) berada dalam satu kolom. Di bawah kedua bilangan, buat garis mendatar. Hasilnya seperti ini:
Sekarang kita menjumlahkan angka-angka yang terletak dalam satu kolom. Jika jumlahnya kurang dari sepuluh, jumlah itu langsung ditulis di bawah garis. Kita mulai dari kanan, yaitu dari nilai tempat terkecil. Jadi, yang pertama dijumlahkan adalah 4 + 2, hasilnya enam. Enam kurang dari sepuluh, maka di bawah garis kita tulis angka 6:
Selanjutnya, kita menjumlahkan 6 + 7. Hasilnya 13, dan bilangan ini lebih dari sepuluh. Sekarang di bawah garis kita tulis hanya angka satuannya, yaitu 3 (tiga belas dikurangi sepuluh).
Lalu, ke mana angka 1 yang kita sisihkan tadi? Apa artinya? Kolom yang sedang kita hitung adalah kolom kedua dari kanan, yaitu kolom puluhan. Sebenarnya kita sedang menjumlahkan puluhan, yaitu 60 + 70 = 130. Bilangan 30 kita simpan, sedangkan 100 kita tunda. Sampai kapan? Sampai langkah berikutnya, yaitu kolom berikutnya. Pada langkah berikutnya, kita akan menjumlahkan angka-angka ratusan. Kita punya satu ratusan tambahan yang diperoleh dari penjumlahan puluhan. Cara paling sederhana adalah menambahkan satu ratusan itu pada langkah penjumlahan berikutnya. Angka 1 ini sering disebut angka simpanan.
Jadi, pada langkah berikutnya kita tidak menjumlahkan 5 + 2, tetapi 5 + 2 + 1. Angka 1 di sini mewakili satu ratusan dari langkah sebelumnya. Hasilnya delapan, kurang dari sepuluh. Di bawah garis kita tulis angka 8.
Ke langkah berikutnya tidak ada ribuan tambahan, jadi kita hanya menjumlahkan 7 + 3 = 10. Bilangan ini tidak kurang dari sepuluh. Karena itu, di bawah garis kita tulis angka terakhirnya, dan angka 1 disimpan untuk kolom berikutnya. Kita tulis 0 di bawah garis dan menyimpan satu puluh ribuan untuk langkah berikutnya.
Pada kolom terakhir, hanya baris pertama yang berisi angka. Di baris kedua kita anggap ada angka 0, lalu kita hitung 1 + 0, tanpa lupa menambahkan angka simpanan dari langkah sebelumnya: 1 + 0 + 1 = 2. Di bawah garis kita tulis angka 2.
Algoritmanya selesai, dan kita mendapatkan jumlah 17564 + 3272.
Animasi penjumlahan bersusun
Masukkan dua bilangan asli ke dalam kotak berikut, lalu nikmati animasi seluruh langkahnya.
Penjumlahan pada garis bilangan
Penjumlahan bisa digambarkan pada garis bilangan. Garis bilangan adalah garis lurus yang memuat semua bilangan. Bentuknya bisa seperti ini:
Jika kita ingin menggambarkan penjumlahan dua bilangan pada garis bilangan ini, misalnya 3+4, langkahnya seperti berikut. Gambar ruas garis yang dimulai dari titik asal, yaitu dari 0, dan berakhir di 3. Pada penjumlahan, ruas garis diarahkan ke kanan dari titik awalnya. Hasilnya seperti ini:
Sekarang kita gambarkan angka 4 pada garis bilangan. Kali ini kita mulai dari bilangan 3, lalu menarik ruas garis sepanjang empat ke kanan. Seperti ini:
Titik tempat ruas garis kedua yang berwarna hijau berakhir menunjukkan hasil akhirnya: 3 + 4 = 7.
Pengurangan
Pengurangan adalah operasi invers dari penjumlahan. Jika suatu bilangan a ditambah bilangan b, lalu dikurangi lagi dengan b, kita kembali mendapatkan bilangan a. Caranya akan kita lihat pada contoh 158.748 − 99.575. Seperti pada penjumlahan, kedua bilangan ditulis bersusun:
Hasilnya kita tulis di bawah garis, sama seperti pada penjumlahan. Kita mulai dari kanan, dari nilai tempat terkecil. Jadi, yang pertama kita hitung adalah satuan. Jika angka atas tidak lebih kecil daripada angka bawah, di bawah garis kita tulis selisih angka atas − angka bawah. (Dengan kata lain, jika angka bawah lebih kecil atau sama, kita bisa langsung mengurangkan.) Pada kolom satuan, angka atas tidak lebih kecil, jadi kita tulis selisihnya 8 − 5 = 3.
Kita bergeser satu kolom ke kiri, ke kolom puluhan. Di sini angka atas lebih kecil daripada angka bawah. Karena itu, angka atas kita tambah sepuluh (kita meminjam dari kolom sebelah kiri), lalu kita hitung dengan cara yang sama: angka atas + 10 − angka bawah. Hasilnya 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Saat mengurangkan puluhan, kita terbantu dengan menambahkan sepuluh puluhan. Hal ini harus kita ingat pada langkah berikutnya. Sepuluh puluhan sama dengan satu ratusan, jadi pada langkah berikutnya kita mengurangkan satu ratusan lebih banyak. Artinya, angka 5 di bawah ditambah angka 1 dari langkah sebelumnya.
Pada kolom ratusan, kita periksa apakah angka 7 (angka atas) lebih kecil daripada 6 (angka bawah + 1). Ternyata tidak, jadi kita bisa langsung mengurangkan angka bawah dari angka atas. Namun, angka bawah tetap harus ditambah satu, sehingga hasilnya 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Ke langkah berikutnya tidak ada yang dibawa, karena pada langkah ini kita tidak meminjam dari nilai tempat yang lebih tinggi. Pada kolom ribuan, tidak ada yang perlu ditambahkan. Akan tetapi, angka 8 di atas lebih kecil daripada angka 9 di bawah, jadi angka atas harus ditambah sepuluh. Kita peroleh selisih 8 + 10 − 9 = 9.
Angka 1 dibawa ke langkah berikutnya dan ditambahkan pada angka bawah. Sembilan ditambah satu sama dengan sepuluh, dan angka 5 di atas lebih kecil daripada sepuluh. Angka atas kita tambah sepuluh, lalu kita hitung selisihnya: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Sekali lagi kita meminjam dari nilai tempat yang lebih tinggi, jadi angka 1 dibawa ke langkah berikutnya. Di sana angka bawahnya kosong, jadi kita anggap 0. Setelah ditambah satu, hasilnya satu. Angka atas tidak lebih kecil daripada angka bawah (keduanya sama), jadi kita bisa langsung mengurangkan: 1 − 1 = 0.
Hasilnya sudah kita peroleh. Angka 0 di depan boleh dihapus, sehingga 158.748 − 99.575 = 59.173.
Pengurangan pada garis bilangan
Seperti penjumlahan, pengurangan juga bisa digambarkan pada garis bilangan. Bedanya, arah ruas garisnya dibalik. Ruas garis tidak ditarik ke kanan dari titik saat ini, tetapi ke kiri. Misalnya, untuk menghitung 2 − 5, langkahnya seperti berikut. Pertama, gambarkan angka 2 pada garis bilangan ke arah positif, karena 2 adalah bilangan positif. Karena 5 dikurangkan, arahnya dibalik.
Sekarang gambarkan ruas garis kedua yang mewakili minus lima. Kita mulai dari titik tempat kita berhenti, yaitu dari 2. Namun, ruas garis ini kita tarik ke belakang, yaitu ke kiri.
