Pecahan aljabar

Pecahan aljabar (bentuk rasional) adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial. Biasanya kita berusaha menyederhanakan pecahan aljabar menjadi bentuk yang lebih pendek dan lebih rapi.

Dasar-dasar

Sekali lagi, pecahan aljabar berbentuk seperti berikut:

$$\frac{\text{polinomial}}{\text{polinomial}}$$

Contoh pecahan aljabar adalah bentuk berikut:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Tugas kita adalah menyederhanakan bentuk ini. Saat menyederhanakan, kita memakai cara yang sama seperti saat mengubah polinomial, misalnya pemfaktoran dan berbagai rumus yang berguna. Bagian berikutnya merangkum cara-cara yang paling sering dipakai.

Penyebut pecahan aljabar harus memuat variabel. Misalnya, bentuk berikut tidak disebut pecahan aljabar:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Untuk pecahan aljabar, biasanya kita juga menentukan syarat terdefinisinya, yaitu syarat agar pecahan aljabar itu bermakna. Penyebut pecahan aljabar tidak boleh sama dengan nol, karena seperti yang kita ketahui, kita tidak boleh membagi dengan nol.

Teknik-teknik

Saat mengubah bentuk aljabar, kita memakai banyak teknik. Berikut ringkasan teknik yang paling umum. Yang pertama adalah menyederhanakan pecahan. Jika pembilang dan penyebut hanya berisi bentuk-bentuk yang saling dikalikan, pecahan bisa disederhanakan:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Di sini kita mencoret variabel a. Jika pecahannya seperti ini,

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

pecahan itu tidak bisa disederhanakan dengan cara tersebut. Pembilangnya berupa penjumlahan, jadi pencoretan tidak diperbolehkan. Sering kali penyebut atau pembilang memang berupa penjumlahan, tetapi kita bisa mengeluarkan faktor persekutuan dari bentuk itu, dan setelah itu pecahan bisa disederhanakan. Misalnya, pada pecahan

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

pembilangnya berupa penjumlahan, tetapi kita bisa mengeluarkan faktor a, lalu menyederhanakan

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Langkah yang juga sering dipakai adalah memfaktorkan sesuatu dengan suatu rumus. Di atas kita punya pecahan aljabar

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Jika rumus

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

kita terapkan pada pembilang, kita memperoleh pecahan aljabar baru

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

dan sekarang kita bisa mencoret seluruh tanda kurung (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Selain itu, tentu saja ada berbagai penjumlahan dan perkalian polinomial, operasi bilangan berpangkat, penjumlahan pecahan, dan sebagainya.

Contoh pertama

Soal:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Terlihat bahwa dari pembilang dan penyebut kita bisa mengeluarkan faktor 2, lalu mencoretnya:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Dari pembilang kita masih bisa mengeluarkan faktor 3:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Seluruh bentuk a + 2b bisa dicoret, sehingga tersisa 3:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Syarat pecahan aljabar ini:

$$a+2b\ne 0$$

Contoh kedua

Soal:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Pada langkah pertama, kita kurangkan pecahan-pecahan di dalam tanda kurung:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Selanjutnya, kita jabarkan tanda kurung pada penyebut. Siswa yang jeli akan melihat bahwa kita bisa memakai rumus a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Penyebut pecahan pertama sama dengan pembilang pecahan kedua. Karena kedua pecahan ini dikalikan, bentuk itu bisa dicoret:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Sekarang kita perlu sedikit kerja keras: menjabarkan dan menjumlahkan tanda kurung pada pembilang, lalu menyederhanakan:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Syaratnya kita tentukan dari soal. Di sana ada tiga pecahan, dan tidak ada penyebut yang boleh sama dengan nol.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Contoh ketiga

Soal pecahan aljabar berikutnya:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Pertama, seperti biasa, kita jumlahkan dan kurangkan bentuk-bentuk di dalam tanda kurung. Pengurangan pertama mudah, karena kedua pecahan punya penyebut yang sama.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Kita jabarkan dan jumlahkan bentuk-bentuk pada pembilang:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Pada pecahan pertama, kita coret variabel b, lalu bilangan 2 kita ubah menjadi pecahan berpenyebut a agar bisa dijumlahkan dengan pecahan pertama:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Pecahan-pecahan dalam tanda kurung pertama kita jumlahkan, dan dari pembilang pecahan kedua kita keluarkan faktor a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Sekarang kita bisa mencoret a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Tinggal mengalikan bentuk di sebelah kiri dengan pecahannya.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Dari tanda kurung pertama kita keluarkan faktor 2:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Sekarang (1 + a) bisa dicoret (penyebutnya memuat bentuk yang sama, hanya urutannya terbalik, a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Inilah pecahan aljabar akhir yang sudah disederhanakan. Bentuk ini tidak bisa disederhanakan lagi dengan cara yang masuk akal. Syaratnya:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Pembagian polinomial

Pecahan aljabar juga bisa diselesaikan dengan algoritma pembagian polinomial oleh polinomial. Cara ini berguna jika bentuknya tidak bisa diubah dengan cara-cara yang biasa.