Perbandingan senilai dan berbalik nilai

Perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai dipakai dalam perhitungan sederhana tentang dua besaran yang saling bergantung. Biasanya kita mengetahui tiga nilai yang saling berkaitan dan harus menghitung nilai keempat. Kedua jenis perbandingan ini harus dibedakan dengan cermat, karena cara menghitungnya berbeda.

Motivasi

Kamu pergi ke toko untuk membeli persediaan minuman. Dengan uang Rp20.000, kamu mendapat 5 botol minuman. Berapa botol yang bisa kamu beli jika punya Rp40.000? Inilah contoh khas soal yang bisa diselesaikan dengan perbandingan.

Di sini kita bisa berpikir sederhana. Pada kasus pertama kita punya Rp20.000, dan pada kasus kedua Rp40.000. Jadi, wajar jika kita berharap bahwa dengan uang dua kali lebih banyak, kita bisa membeli botol dua kali lebih banyak. Dengan Rp40.000 kita bisa membeli 2 · 5 = 10 botol.

Cara berpikir “makin banyak… makin banyak” ini tidak selalu benar. Perhatikan contoh berikut: 10 tukang bangunan bisa membangun rumah dalam empat bulan. Berapa lama 20 tukang bangunan membangun rumah yang sama? Jika kita memakai cara tadi (tukangnya dua kali lebih banyak, jadi bulannya juga dua kali lebih banyak), kita mendapat bahwa 20 tukang membangun rumah dalam 2 · 4 = 8 bulan.

Tentu saja cara ini salah, karena makin banyak tukang, makin sedikit bulan yang mereka perlukan untuk membangun rumah. Jadi, kita harus berpikir terbalik: tukang yang dua kali lebih banyak membangun rumah dalam waktu setengahnya. Dengan begitu kita mendapat hasil yang benar: 20 tukang membangun rumah dalam 4/2 = 2 bulan.

Kedua cara berpikir ini punya nama: perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.

Perbandingan senilai

Jika berlaku “makin banyak… makin banyak”, kita berhadapan dengan perbandingan senilai. Contoh:

• Makin banyak uang kita, makin banyak minuman/mentimun/sepatu roda yang bisa kita beli.
• Makin banyak artikel yang ditulis seorang wartawan, makin banyak uang yang dia peroleh.
• Makin banyak penggali yang bekerja, makin banyak tanah yang tergali.
• Makin lama pompa bekerja, makin banyak air yang dipompa.

Contoh: Sebuah mobil menghabiskan 6 liter bensin untuk 100 kilometer. Berapa liter bensin yang dihabiskan setelah menempuh 250 kilometer? Ini contoh perbandingan senilai, karena makin jauh mobil berjalan, makin banyak bensin yang dihabiskan.

Penyelesaian: Pertama, kita tulis apa yang diketahui. Kita pakai tabel berikut agar jelas apa yang diketahui dan apa yang ingin dihitung:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

Pada baris pertama tertulis nilai-nilai yang sudah diketahui seluruhnya. Pada baris kedua, di kanan ada nilai yang belum diketahui, dan di kiri ada nilai yang menjadi dasar perhitungan variabel itu. Setiap kolom harus berisi besaran yang sama. Dalam contoh ini, satu kolom selalu berisi kilometer, dan kolom lainnya selalu berisi liter.

Ada cara mudah yang membantu menyelesaikan soal ini. Pertama, gambarlah panah dari bawah ke atas di sebelah kanan, seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Jika perbandingannya senilai, di sebelah kiri kita gambar panah yang sama, dari bawah ke atas:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Pada langkah berikutnya, kita susun pecahan dari kolom-kolom itu sesuai arah panah. Pembilangnya adalah bilangan tempat panah berawal, dan penyebutnya bilangan tempat panah berakhir. Kedua pecahan ini kita tulis dalam satu persamaan. Dari kolom pertama (kilometer) kita peroleh pecahan $\frac{250}{100}$, dan dari kolom kedua (liter) pecahan $\frac{x}{6}$. Dalam bentuk persamaan:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Ini adalah persamaan linear biasa yang bisa diselesaikan dengan operasi ekuivalen. Kedua ruas persamaan kita kalikan enam, sehingga pecahan di ruas kanan hilang:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Sekarang tinggal menghitung x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Jadi, setelah menempuh 250 kilometer, mobil itu menghabiskan 15 liter bensin.

Perbandingan berbalik nilai

Jika berlaku “makin banyak… makin sedikit”, kita berhadapan dengan perbandingan berbalik nilai. Contoh:

• Makin banyak orang yang berbagi satu pizza, makin kecil potongan yang didapat masing-masing.
• Makin cepat internet kita, makin cepat kita selesai mengunduh film.
• Makin cepat kita berkendara, makin cepat kita sampai di tujuan.
• Makin banyak pekerja yang membangun rumah, makin cepat rumah itu selesai.

Contoh: Komputermu tersambung ke internet dengan kecepatan 2 MB per detik, dan rekaman sebuah konser selesai kamu unduh dalam 450 detik. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengunduh konser yang sama jika kecepatan internetmu 6 MB per detik?

Caranya sama seperti pada perbandingan senilai. Kita tulis data dalam tabel yang rapi:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ detik}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ detik}\end{array}$$

Sekarang panahnya. Panah kanan tetap dari bawah ke atas, di sini tidak ada yang berubah. Namun, karena perbandingannya berbalik nilai, panah kiri berarah sebaliknya, dari atas ke bawah.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ detik}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ detik}\uparrow \end{array}$$

Langkah selanjutnya sama: dari tabel ini kita bentuk pecahan, lagi-lagi sesuai arah panah. Kita peroleh pecahan $\frac{2}{6}$ dan $\frac{x}{450}$, lalu keduanya kita tulis dalam satu persamaan:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Kedua ruas persamaan kita kalikan 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Lalu kita hitung x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Dengan sambungan yang lebih cepat, rekaman konser itu selesai diunduh dalam 150 detik.

Perhatikan bahwa cara ini sesuai dengan intuisi. Pada langkah terakhir, kita membagi 450 dengan tiga, dan hal itu memang wajar. Kecepatan naik dari 2 MB/s menjadi 6 MB/s, artinya tiga kali lipat. Karena itu, kita berharap waktu yang diperlukan untuk mengunduh menjadi sepertiganya →, dan itulah yang dinyatakan oleh pecahan $\frac{450}{3}$.

Contoh soal

Contoh pertama: Sebuah kamar di hotel mewah harganya sepuluh juta lima ratus ribu rupiah untuk tujuh malam. Berapa biaya kamar yang sama jika kita ingin menginap dua belas malam?

Pertama, kita tulis datanya dalam tabel:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ malam}& \dots & 10,5\text{ juta rupiah}\\ 12\text{ malam}& \dots & x\text{ juta rupiah}\end{array}$$

Sekarang kita harus menentukan apakah perbandingannya senilai atau berbalik nilai. Apakah makin lama kita menginap, makin sedikit yang kita bayar? Tidak, justru sebaliknya: makin lama kita menginap, makin banyak yang kita bayar. Jadi, perbandingannya senilai. Kita tambahkan panah:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ malam}& \dots & 10,5\text{ juta rupiah}\\ \uparrow 12\text{ malam}& \dots & x\text{ juta rupiah}\uparrow \end{array}$$

Dengan panah-panah itu kita susun pecahan:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10,5}$$

Lalu kita selesaikan persamaannya:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{10,5}\\ 10,5\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 10,5\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{10,5\cdot 12}{7}\\ x& =& 18\end{array}$$

Untuk 12 malam, kamar itu berharga 18 juta rupiah, yaitu Rp18.000.000.

Contoh kedua: 10 pekerja harian memetik stroberi dan dalam sehari mengumpulkan 50 kilogram stroberi. Berapa kilogram stroberi yang dikumpulkan 7 pekerja dalam sehari?

Kita tulis datanya dalam tabel:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ orang}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ orang}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Apakah perbandingannya senilai atau berbalik nilai? Di contoh ini ada sedikit jebakan, karena berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, banyak pekerja pada baris variabel lebih kecil daripada pada baris pertama. Jangan terkecoh. Perbandingannya tetap senilai, karena makin banyak pekerja, makin banyak stroberi yang terkumpul. Atau sebaliknya, makin sedikit pekerja, makin sedikit stroberinya. Itu juga perbandingan senilai. Jadi, kedua panah berarah dari bawah ke atas.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ orang}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ orang}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Kita bentuk pecahannya:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

lalu kita hitung x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Tujuh pekerja mengumpulkan 35 kilogram stroberi dalam sehari.

Contoh ketiga: Panjang rata-rata langkah Rizky adalah 80 cm. Dalam perjalanan dari sekolah ke rumah, dia menghitung bahwa dia melangkah 1300 kali. Berapa langkah yang dia perlukan jika panjang satu langkahnya tepat satu meter?

Pertama, tabelnya. Perhatikan bahwa di soal ada 80 cm dan satu meter. Di dalam tabel, satuannya harus sama, jadi satu meter kita ganti dengan 100 cm. Kita juga bisa melakukan sebaliknya dan menulis 1 meter dan 0,8 meter.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ langkah}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ langkah}\end{array}$$

Perbandingan yang mana? Makin panjang langkah kita, makin sedikit langkah yang diperlukan untuk menempuh jarak tertentu, jadi perbandingannya berbalik nilai. Panah kiri berarah dari atas ke bawah, dan panah kanan dari bawah ke atas.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ langkah}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ langkah}\uparrow \end{array}$$

Pecahannya seperti ini:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Kita nyatakan x dan hitung nilainya:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Untuk jarak yang sama, Rizky hanya memerlukan 1040 langkah.

Rumus

Dari perhitungan-perhitungan di atas terlihat bahwa langkah-langkahnya selalu sama dan menghasilkan rumus sederhana. Pertama, kita tulis tabelnya secara simbolis:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Lalu berlaku rumus-rumus berikut. Untuk perbandingan senilai:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Untuk perbandingan berbalik nilai:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$