Phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến là đường thẳng chạm vào đồ thị hàm số tại một điểm và tại đó có cùng độ nghiêng với đồ thị. Gần điểm đó, tiếp tuyến áp sát đồ thị đến mức gần như không phân biệt được. Ta xem điều này trên parabol, tức là đồ thị hàm số f(x) = x²:

Đồ thị hàm số f(x) = x^2, tiếp tuyến t của nó tại điểm T và đường thẳng màu xám cũng đi qua điểm T nhưng cắt đồ thị

Đường thẳng màu đỏ t là tiếp tuyến tại điểm T(1; 1). Đường nét đứt màu xám đi qua cùng điểm đó nhưng có độ nghiêng khác, vì vậy nó cắt đồ thị và gặp đồ thị thêm một lần nữa ở gần đó. Vậy đường thẳng này không phải tiếp tuyến.

Bài toán thường có dạng: cho hàm số và một điểm trên đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó, tức là phương trình đường thẳng dạng y = kx + q. Để viết phương trình đường thẳng, ta cần hai thứ:

một điểm mà đường thẳng đi qua,
hệ số góc k, tức là số cho biết đường thẳng nghiêng nhiều hay ít.

Điểm đã cho sẵn. Nó nằm trên đồ thị, nên nếu hoành độ là x₀ thì tung độ là f(x₀). Để tìm hệ số góc, ta dùng đạo hàm: đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. Còn lại là ghép điểm và hệ số góc thành phương trình đường thẳng.

Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

Đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm (x₀; y₀) có phương trình

$y - y_{0} = k \cdot (x - x_{0}) .$

Có thể kiểm tra ngay: thay x = x₀ thì vế phải bằng 0, nên y = y₀ và điểm đó nằm trên đường thẳng. Còn số đứng trước dấu ngoặc là hệ số góc, vì sau khi phá ngoặc ta được phương trình đường thẳng theo hệ số góc y = kx + q với k ở đúng vị trí.

Với tiếp tuyến, tại tiếp điểm ta thay y₀ = f(x₀), còn hệ số góc thay bằng đạo hàm, k = f'(x₀).

Công thức

Nếu bạn chỉ cần công thức: tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm (x₀; f(x₀)) có phương trình

$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) \cdot (x - x_{0}),$

trong đó x₀ là hoành độ tiếp điểm và f'(x₀) là đạo hàm của hàm số f tại điểm này. Công thức này đòi hỏi đạo hàm tại x₀ tồn tại; nếu không thì không viết được tiếp tuyến theo cách này.

Như vậy cả quá trình gồm ba bước:

tính f(x₀),
tính đạo hàm của hàm số và tính f'(x₀),
thay hai số này vào công thức và biến đổi.

Ví dụ

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1, tức là tiếp tuyến màu đỏ ở hình đầu bài.

Bắt đầu bằng giá trị của hàm số tại x₀:

$f (1) = 1^{2} = 1$

Vậy tiếp điểm là (1; 1). Tiếp theo là đạo hàm; theo các công thức đạo hàm, (x²)' = 2x:

$f^{'} (x) = 2 x$

Thay x₀ = 1 vào đạo hàm:

$f^{'} (1) = 2 \cdot 1 = 2$

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2. Thay cả hai số vào công thức:

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Phá ngoặc:

$y - 1 = 2 x - 2$

Còn phải rút y, nên chuyển 1 sang vế phải:

$y = 2 x - 1$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x² tại điểm (1; 1) có phương trình y = 2x − 1. Thử lại xem tiếp tuyến có đi qua tiếp điểm không: 2 · 1 − 1 = 1. Đúng.

Một lỗi hay gặp là thay x₀ vào hàm số ban đầu cả ở chỗ phải dùng đạo hàm, và viết y − 1 = 1 · (x − 1). Kết quả vẫn là một đường thẳng đi qua điểm đó, nhưng có độ nghiêng sai, nên nó cắt đồ thị. Đó chính là đường nét đứt màu xám y = x ở hình đầu bài.

Tiếp tuyến song song với một đường thẳng

Đôi khi đề bài không cho tiếp điểm và ta phải tự tìm. Đề bài điển hình: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

$f (x) = x^{2} - 4 x + 5,$

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x − 7.

Bản thân đường thẳng y = 2x − 7 không phải tiếp tuyến, thậm chí nó không có điểm chung nào với parabol. Cho hai vế phải bằng nhau, ta được x² − 6x + 12 = 0, và phương trình bậc hai này vô nghiệm vì biệt thức bằng 36 − 48 = −12. Vì vậy ta phải tịnh tiến đường thẳng sao cho nó chỉ vừa chạm vào parabol.

Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc, nên tiếp tuyến cần tìm phải có hệ số góc bằng 2, giống đường thẳng y = 2x − 7. Vậy ta tìm điểm tại đó đạo hàm bằng 2. Tính đạo hàm:

$f^{'} (x) = 2 x - 4$

Cho đạo hàm bằng 2 và giải phương trình bậc nhất:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & = & 2 / + 4 \\ 2 x & = & 6 / : 2 \\ x & = & 3 \end{array}$

Hoành độ tiếp điểm là x₀ = 3. Tung độ tính từ hàm số:

$f (3) = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$

Ta có tiếp điểm T(3; 2) và hệ số góc bằng 2, nên có thể viết:

$y - 2 = 2 \cdot (x - 3)$

Phá ngoặc và chuyển 2 sang vế phải, ta được:

$y = 2 x - 4$

Tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = 2x − 4. Trên hình, parabol màu đen, đường thẳng đã cho p màu xanh dương, tiếp tuyến t màu đỏ và tiếp điểm T màu cam.

Parabol f(x) = x^2 - 4x + 5, đường thẳng p: y = 2x - 7 và tiếp tuyến t: y = 2x - 4 song song với nó, với tiếp điểm T

Nếu đường thẳng đã cho có hệ số góc khác, cách làm vẫn y hệt, chỉ là ta cho đạo hàm bằng một số khác. Với parabol luôn có đúng một tiếp điểm, còn với các hàm số phức tạp hơn có thể có nhiều tiếp điểm, hoặc không có tiếp điểm nào.

Pháp tuyến

Pháp tuyến là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuông góc với tiếp tuyến. Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì đường thẳng vuông góc với nó có hệ số góc $- \frac{1}{k}$ . Vậy phương trình pháp tuyến là

$y - f (x_{0}) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} \cdot (x - x_{0}) .$

Công thức chỉ dùng được khi f'(x₀) ≠ 0. Nếu đạo hàm bằng 0 thì tiếp tuyến nằm ngang và pháp tuyến là đường thẳng thẳng đứng x = x₀.

Quay lại ví dụ đầu tiên và tính pháp tuyến của nó, tức là pháp tuyến của đồ thị hàm số x² tại điểm (1; 1). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2, nên hệ số góc của pháp tuyến là $- \frac{1}{2}$ . Thay vào:

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Phá ngoặc:

$y - 1 = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Chuyển 1 sang vế phải và cộng các phân số:

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Vậy pháp tuyến của đồ thị hàm số x² tại điểm (1; 1) có phương trình $y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

« Bài trước: Công thức tính đạo hàm

Bài tiếp: Khảo sát hàm số »