접선의 방정식

접선은 함수의 그래프에 한 점에서 닿고, 그 점에서 그래프와 기울기가 같은 직선이다. 그 점 가까이에서는 그래프에 아주 바짝 붙어서 그래프와 거의 구별할 수 없다. 포물선, 즉 함수 f(x) = x²의 그래프로 살펴보자.

빨간 직선 t는 점 T(1, 1)에서의 접선이다. 회색 점선도 같은 점을 지나지만 기울기가 다르므로 그래프를 가로질러 조금 옆에서 그래프와 다시 만난다. 그래서 접선이 아니다.

문제는 보통 이렇다. 함수와 그 그래프 위의 점이 주어지고, 이 점에서의 접선의 방정식, 즉 y = kx + q 꼴의 직선의 방정식을 쓰려고 한다. 직선의 방정식을 쓰려면 두 가지가 필요하다.

• 직선이 지나는 점,
• 직선이 얼마나 기울어져 있는지 알려 주는 수인 기울기 k.

점은 주어져 있다. 점은 그래프 위에 있으므로 x좌표가 x₀이면 y좌표는 f(x₀)이다. 기울기는 미분이 알려 준다. 한 점에서의 미분계수는 그 점에서의 접선의 기울기와 같다. 이제 점과 기울기로 직선의 방정식을 만들기만 하면 된다.

한 점과 기울기로 정해지는 직선

기울기가 k이고 점 (x₀, y₀)을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$$y-y_0=k\cdot (x-x_0).$$

바로 확인할 수 있다. x에 x₀을 대입하면 우변이 0이 되므로 y = y₀이고, 점이 직선 위에 있다. 그리고 괄호 앞의 수는 기울기이다. 전개하면 k가 제자리에 있는 기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식 y = kx + q를 얻기 때문이다.

접선이라면 접점으로 y₀ = f(x₀)을, 기울기로 미분계수 k = f'(x₀)을 대입한다.

공식

공식만 필요하다면, 점 (x₀, f(x₀))에서 함수 f의 그래프에 그은 접선은 다음과 같이 쓴다.

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

여기서 x₀은 접점의 x좌표이고 f'(x₀)은 그 점에서 함수 f의 미분계수이다. 이 공식은 x₀에서 미분계수가 존재한다고 가정한다. 그렇지 않으면 이 방법으로 접선을 쓸 수 없다.

따라서 전체 과정은 세 단계이다.

1. f(x₀)을 구한다.
2. 함수를 미분하고 f'(x₀)을 구한다.
3. 두 수를 공식에 대입하고 정리한다.

예제

x₀ = 1인 점에서 함수 f(x) = x²의 그래프에 그은 접선, 즉 이 글 처음 그림의 빨간 접선의 방정식을 써 보자.

먼저 x₀에서의 함숫값을 구한다.

$$f(1)=1^2=1$$

즉 접점은 (1, 1)이다. 그다음은 미분 차례이다. 미분 공식에 따라 (x²)' = 2x이다.

$$f^{\prime }(x)=2x$$

도함수에 x₀ = 1을 넣는다.

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

접선의 기울기는 2이다. 두 수를 공식에 대입한다.

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

괄호를 전개한다.

$$y-1=2x-2$$

이제 y만 남기면 되므로 1을 우변으로 옮긴다.

$$y=2x-1$$

점 (1, 1)에서 함수 x²의 그래프에 그은 접선의 방정식은 y = 2x − 1이다. 접선이 정말 접점을 지나는지 확인하면 2 · 1 − 1 = 1이다. 맞는다.

흔한 실수는 미분계수를 넣어야 할 자리에도 x₀을 원래 함수에 대입해서 y − 1 = 1 · (x − 1)이라고 쓰는 것이다. 그러면 점을 지나는 직선은 나오지만 기울기가 틀려서 그래프를 가로지른다. 이것이 처음 그림의 회색 점선 y = x이다.

직선에 평행한 접선

그런데 접점이 주어지지 않아서 직접 찾아야 할 때가 있다. 전형적인 문제는 이렇다. 다음 함수의 그래프에 접하고

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

직선 y = 2x − 7에 평행한 접선을 구하시오.

직선 y = 2x − 7 자체는 접선이 아니고, 심지어 포물선과 공유점이 없다. 두 방정식을 같다고 놓으면 x² − 6x + 12 = 0을 얻는데, 이 이차방정식은 판별식이 36 − 48 = −12이므로 실근이 없다. 그래서 직선을 포물선에 닿기만 할 만큼 평행이동해야 한다.

평행한 직선은 기울기가 같으므로 구하는 접선의 기울기는 직선 y = 2x − 7처럼 2여야 한다. 그래서 미분계수가 2인 점을 찾는다. 미분한다.

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

도함수를 2와 같다고 놓고 일차방정식을 푼다.

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/÷2\\ x& =& 3\end{array}$$

접점의 x좌표는 x₀ = 3이다. y좌표는 함수에서 얻는다.

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

접점 T(3, 2)와 기울기 2를 모두 알았으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

전개하고 2를 우변으로 옮기면 다음을 얻는다.

$$y=2x-4$$

구하는 접선의 방정식은 y = 2x − 4이다. 그림에서 포물선은 검은색, 주어진 직선 p는 파란색, 접선 t는 빨간색, 접점 T는 주황색이다.

주어진 직선의 기울기가 달라도 방법은 똑같다. 도함수를 다른 수와 같다고 놓기만 하면 된다. 포물선에서는 접점이 언제나 하나뿐이지만, 더 복잡한 함수에서는 여러 개이거나 하나도 없을 수 있다.

법선

법선은 접점을 지나고 접선에 수직인 직선이다. 접선의 기울기가 k이면 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{1}{k}$이다. 따라서 법선의 방정식은 다음과 같다.

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

이 공식은 f'(x₀) ≠ 0일 때만 쓴다. 미분계수가 0이면 접선이 수평이고 법선은 수직인 직선 x = x₀이다.

첫 번째 예제, 즉 점 (1, 1)에서의 함수 x²으로 돌아가 법선도 구해 보자. 접선의 기울기가 2였으므로 법선의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이다. 대입한다.

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

전개한다.

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

1을 우변으로 옮기고 분수를 더한다.

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

점 (1, 1)에서 함수 x²의 그래프에 그은 법선의 방정식은 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$이다.