Gabungan, irisan, selisih, dan komplemen himpunan

Pada himpunan dapat dilakukan berbagai operasi himpunan. Operasi yang paling dasar adalah gabungan, irisan, selisih, dan komplemen.

Gabungan himpunan

Gabungan himpunan dilambangkan dengan ∪. Jadi, gabungan himpunan A dan B ditulis seperti biasa: A ∪ B. Gabungan himpunan A dan B menghasilkan himpunan baru yang memuat semua anggota himpunan A dan juga semua anggota himpunan B. Definisinya:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Contoh: misalkan ada dua himpunan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6}. Gabungannya adalah himpunan A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Himpunan yang dihasilkan memuat anggota kedua himpunan.

Contoh lain: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}. Gabungannya adalah A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Anggota 2 dan 3 tidak muncul dua kali dalam hasilnya, karena suatu himpunan tidak memuat anggota yang sama lebih dari sekali.

Sifat-sifat lainnya:

• A ∪ A = A: gabungan dua himpunan yang sama menghasilkan himpunan itu lagi.
• A ∪ B = B ∪ A: gabungan bersifat komutatif, urutannya tidak berpengaruh.
• A ∪ ∅ = A: himpunan kosong tidak mempunyai anggota, jadi tidak ada yang ditambahkan.

Irisan himpunan

Irisan dua himpunan A dan B menghasilkan himpunan baru yang memuat anggota persekutuan kedua himpunan. Lebih tepatnya, himpunan baru itu memuat anggota yang termasuk dalam A dan sekaligus termasuk dalam B. Irisan dilambangkan dengan ∩. Definisinya:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Contoh: A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 7}. Irisannya adalah A ∩ B = {5, 7}. Contoh lain: A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, g, h, i, j}. Irisannya adalah A ∩ B = ∅. Kedua himpunan ini tidak mempunyai anggota persekutuan, jadi irisannya himpunan kosong.

Sifat-sifat lainnya:

• A ∩ A = A: irisan dua himpunan yang sama menghasilkan himpunan itu lagi.
• A ∩ B = B ∩ A: irisan bersifat komutatif, urutannya tidak berpengaruh.
• A ∩ ∅ = ∅: himpunan kosong tidak mempunyai anggota, jadi tentu tidak mempunyai anggota yang sama dengan himpunan A.

Selisih himpunan

Selisih himpunan dilambangkan dengan tanda minus biasa − atau, lebih baik, dengan garis miring terbalik ∖. Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat semua anggota A yang bukan anggota B. Singkatnya, kamu lihat anggota mana dari himpunan pertama yang juga ada di himpunan kedua, lalu anggota itu dibuang. Definisinya:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {4, 5, 6, 7, 8}. Selisihnya adalah A ∖ B = {1, 2, 3}. Inilah anggota yang tersisa setelah semua anggota himpunan B dibuang dari himpunan A. Contoh lain: A = {a, b, d, e}. Selisih A ∖ A = ∅.

Sifat-sifat lainnya:

• A ∖ A = ∅: sama seperti selisih dua bilangan yang sama adalah nol (misalnya 5 − 5 = 0), selisih dua himpunan yang sama adalah himpunan kosong.
• A ∖ ∅ = A: himpunan kosong tidak mempunyai anggota, jadi tidak ada anggota yang dibuang dari himpunan A.

Komplemen himpunan

Komplemen himpunan A ditulis dengan berbagai cara, paling sering A^c atau dengan garis di atas: $\bar{A}$. Di sini kita memakai lambang dengan huruf c (dari kata komplemen). Untuk menentukan komplemen himpunan A, kita perlu tahu terhadap himpunan semesta mana komplemen itu ditentukan. Komplemen himpunan memuat semua anggota yang tidak termasuk dalam himpunan A, jadi semacam kebalikan dari himpunan A.

Jika himpunan semestanya M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, komplemen himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10} terhadap M adalah himpunan A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Himpunan ini memuat semua anggota M yang bukan anggota A. Dapat dikatakan bahwa A^c terhadap M sama dengan M ∖ A.

Jika himpunan semestanya bilangan bulat, komplemen himpunan bilangan genap adalah himpunan bilangan ganjil. Komplemen himpunan A = {1, 2, 3, 4} adalah himpunan A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Jika komplemen diterapkan dua kali, kita memperoleh kembali himpunan semula. Misalnya, pada bilangan bulat komplemen himpunan bilangan genap adalah himpunan bilangan ganjil, dan komplemen himpunan bilangan ganjil adalah himpunan bilangan genap lagi. Jadi, berlaku A = (A^c)^c (komplemen dari komplemen A).