Công thức chu vi, diện tích và thể tích

Trước hết là vài dòng lí thuyết thật ngắn gọn. Chu vi của một hình là tổng độ dài tất cả các cạnh của nó, đo bằng mét và các đơn vị suy ra từ mét. Chu vi thường kí hiệu là P. Diện tích của một hình là độ lớn phần mặt phẳng mà hình đó chiếm, tính bằng mét vuông; trong toán học, mét vuông được viết bằng số 2 ở chỉ số trên: m². Diện tích thường kí hiệu là S. Thể tích là phần không gian mà vật thể chiếm, nói đơn giản là đổ được bao nhiêu nước vào đó. Thể tích tính bằng mét khối và các đơn vị suy ra, đơn vị thể tích được viết bằng số 3 ở chỉ số trên: m³. Thể tích thường kí hiệu là V. Diện tích và thể tích còn có thể đo bằng các đơn vị khác (có lẽ thông dụng hơn trong đời sống), như a hay héc-ta cho diện tích và lít cho thể tích. Nói chung, diện tích và thể tích có thể tính bằng tích phân.

Hình vuông và hình chữ nhật

Cả hai hình đều là hình phẳng, nên ở đây chỉ có chu vi và diện tích. Hình vuông là đơn giản nhất, vì theo định nghĩa nó có tất cả các cạnh bằng nhau. Do đó muốn tính chu vi hình vuông, chỉ cần lấy một cạnh nhân với 4 (số cạnh): P=4a. Chu vi hình chữ nhật chỉ phức tạp hơn một chút. Hình chữ nhật luôn có từng cặp cạnh bằng nhau, nên có hai cách: cộng tất cả các cạnh lại, hoặc lấy độ dài hai cạnh khác nhau, nhân mỗi cạnh với 2 rồi cộng lại: P=2a+2b.

Diện tích hình vuông không khó hơn chu vi chút nào. Lấy một cạnh nhân với cạnh kia. Vì hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau nên ta có công thức: S = a·a = a². Hình chữ nhật tính hoàn toàn giống hình vuông, chỉ khác là các cạnh không bằng nhau, nên phải nhân hai cạnh khác nhau vuông góc với nhau: S=a·b.

Hình bình hành

Hình bình hành là hình giống hình chữ nhật, nhưng có hai cạnh đối bị nghiêng, xem hình dưới đoạn này. Chu vi hình bình hành rất đơn giản và về cơ bản giống chu vi hình chữ nhật: P=2a+2b, còn diện tích thì thú vị hơn một chút. Để tính diện tích hình bình hành, phải biến nó thành hình chữ nhật. Hình sau cho thấy cách làm:

Trước hết cắt phần thừa của hình bình hành (phần tô màu) và ghép nó sang phía bên kia, ta được một hình chữ nhật:

Bây giờ mới dễ dàng tính được diện tích hình bình hành, công thức giống như với hình chữ nhật. Tuy nhiên ghép hình như vậy thì không tiện, nên người ta dùng một công thức đơn giản suy ra từ chính cách ghép này. Cạnh a của hình chữ nhật và của hình bình hành là như nhau, chỉ có cạnh thứ hai khác. Với hình bình hành, thay cho cạnh b ta dùng chiều cao của hình bình hành, chiều cao này bằng cạnh b của hình chữ nhật mới. Hình sau minh hoạ điều này (nhân hai đoạn tô màu đỏ):

Công thức như sau: S=h_a·a.

Hình thang

Chu vi thì rõ: cộng tất cả các cạnh lại. Diện tích hình thang là bài toán khó hơn. Về lí thuyết có thể làm giống như với hình bình hành, nhưng không biết nên lấy cạnh dài hơn (AB) hay cạnh ngắn hơn (CD).

Vì vậy ta dùng một mẹo: tính độ dài trung bình của hai cạnh song song và dùng nó để tính. Cộng độ dài cạnh AB và CD, chia cho 2, rồi làm như với hình bình hành: nhân thêm với chiều cao là được diện tích. S=(a+c)/2 · h_a.

Tam giác

Tam giác là hình phẳng, nên với tam giác ta tính được chu vi và diện tích, nhưng tam giác không có thể tích. Chu vi tam giác bằng tổng độ dài các cạnh. Công thức tổng quát là: P=a+b+c. Tất nhiên có những trường hợp đặc biệt, chẳng hạn tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, nên chỉ cần biết độ dài một cạnh và nhân với 3. Khi đó công thức là: P'=3a.

Để tính diện tích tam giác, cần biến đổi một chút. Muốn tính diện tích tam giác, ta biến nó thành hình bình hành (giống như đã biến hình bình hành thành hình chữ nhật). Hình sau cho thấy cách biến tam giác thành hình bình hành:

Từ hình này có thể thấy rõ cách tính diện tích tam giác: làm như tính diện tích hình bình hành, chỉ khác là chia kết quả cho 2: S=(h_c·c)/2

Hình tròn

Hình tròn đặc biệt ở chỗ cả chu vi lẫn diện tích của nó đều không viết được chính xác bằng một số thập phân. Dù muốn tính gì với hình tròn, hầu như lúc nào cũng cần đến số pi, π. Biểu diễn thập phân của π là vô hạn, π là một số vô tỉ, giá trị gần đúng thường dùng (nếu máy tính không có sẵn phím π) là 3,14.

Bây giờ đến các công thức. Từ thời xa xưa, các nhà tư tưởng đã tìm cách tính chu vi hình tròn, hay nói cách khác là độ dài đường tròn (đường tròn chỉ là đường cong bao quanh, nó không có phần bên trong nên cũng không có diện tích, còn hình tròn thì có diện tích vì nó gồm cả phần bên trong đường tròn). Người ta phát hiện ra rằng tỉ số giữa đường kính (dễ đo) và chu vi hình tròn luôn không đổi, và dần dần tính được chu vi gấp bao nhiêu lần đường kính. Thật bất ngờ – đúng bằng π lần. Vậy chu vi hình tròn là C=π·d=2·π·r (công thức thứ hai được dùng nhiều hơn, vì thường ta biết bán kính hơn là đường kính), trong đó d là đường kính và r là bán kính hình tròn.

Diện tích hình tròn là S=π·r², không có gì để nói thêm :-).

Hình lập phương và hình hộp chữ nhật

Đây là những hình khối đầu tiên, với các hình này ta tính diện tích toàn phần và thể tích. Vì hình lập phương có sáu mặt và các mặt đều là hình vuông nên cách làm rất rõ: tính diện tích một mặt rồi nhân với 6. S_tp=6a². Với hình hộp chữ nhật thì dài hơn, vì có nhiều mặt khác nhau. Về cơ bản chỉ cần tính diện tích ba mặt khác nhau, cộng lại và nhân với 2 là được diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: S_tp=(a·b + b·c + a·c)·2.

Thể tích hình lập phương tính giống hệt diện tích hình vuông, chỉ khác một chút là không được quên rằng ta đang ở trong không gian. Nói gọn, chỉ cần lấy độ dài cạnh nâng lên luỹ thừa bậc ba: V=a³. Với hình hộp chữ nhật cũng tương tự, chỉ có điều phải nhân ba cạnh riêng biệt vì chúng dài khác nhau: V=a·b·c.

Hình cầu

Diện tích mặt cầu tính bằng S=4·π·r² và thể tích hình cầu là V=4/3·π·r³. Ai muốn đọc cách chứng minh khá phức tạp của công thức thể tích hình cầu có thể xem nguyên lí Cavalieri.

Hình trụ

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích hai đáy và diện tích xung quanh. Đáy là một hình tròn bình thường, nên diện tích một đáy bằng diện tích hình tròn:

$$S_{\text{đáy}}=\pi \cdot r^2$$

Mặt xung quanh của hình trụ chẳng qua là một hình chữ nhật “cuộn tròn”, trong đó một cạnh bằng chiều cao của hình trụ (kí hiệu h), cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Vậy diện tích xung quanh bằng:

$$S_{xq}=h\cdot 2\pi r$$

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

$$S_{tp}=2\cdot S_{\text{đáy}}+S_{xq}=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Thể tích hình trụ đơn giản hơn, bằng chiều cao nhân với diện tích đáy. Diện tích đáy đã tính ở bước trước. Kết quả:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Hình chóp và hình nón

Diện tích toàn phần của hình chóp nói chung bằng tổng diện tích đáy và diện tích tất cả các mặt bên. Không có công thức tổng quát cho diện tích này. Thể tích hình chóp có điểm giống cách tính diện tích tam giác: lấy diện tích đáy nhân với chiều cao của hình chóp, rồi chia kết quả cho 3 là được thể tích hình chóp. V=(S_đáy · h)/3, trong đó S_đáy là diện tích đáy.

Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh. Diện tích đáy thì rõ, đó là một hình tròn bình thường, tức là S=π·r². Diện tích xung quanh phức tạp hơn một chút: hãy tưởng tượng “trải” mặt xung quanh ra mặt bàn, ta được một hình quạt tròn có diện tích: S_xq=π·r·l, trong đó l là độ dài đường sinh (khoảng cách từ đỉnh hình nón đến đường tròn đáy, về cơ bản giống như cạnh bên của hình chóp). Thể tích hình nón là V=(π · r² · h)/3, trong đó h là chiều cao của hình nón.

Ví dụ về diện tích

Tính diện tích của hình sau (giả sử đơn vị trên các trục là mét):

Thoạt nhìn, hình này là một đa giác bất kì, không áp dụng được công thức nào cho cả hình. Vì vậy phải chia nó thành các phần nhỏ hơn mà ta tính được. Thuận tiện nhất là chia phần dưới thành một tam giác và phần trên thành một hình thang. Cách chia như hình sau:

Bây giờ tính diện tích tam giác ABE theo công thức S=(a · h_a)/2. Ở đây cạnh a là cạnh AE, còn chiều cao ứng với cạnh này là cạnh EB. Ta thấy AE=3 m và EB=1 m. Thay vào công thức, ta được: S=(3 · 1)/2=1,5 m².

Bước thứ hai là tính diện tích hình thang theo công thức S=(a+c)/2 · h_a. Ở đây cạnh a là cạnh AE và cạnh c là cạnh DC. Chiều cao cũng dễ đọc trên hình, đó là độ dài đoạn thẳng EC. Thay vào công thức, ta được: S=(3+2)/2 · 2=5 m².

Chỉ cần cộng hai kết quả trên là được diện tích của cả hình. S=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Tính diện tích của hình sau (giả sử đơn vị trên các trục là mét):

Có lẽ thoạt nhìn đã thấy một công thức là không đủ và phải biến đổi hình bằng cách nào đó. Ta tính như sau: tính diện tích “hình vuông”, cộng thêm ba phần tư diện tích hình tròn và trừ đi tam giác nhỏ ở góc dưới bên trái:

Diện tích hình vuông tính rất đơn giản: S₁ = 2 · 2 = 4 m². Bước thứ hai là tính diện tích phần hình tròn. Lại chỉ cần thay vào công thức: S₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Còn lại là tính diện tích tam giác DEI và trừ nó khỏi diện tích hình vuông. Cạnh EI và chiều cao tương ứng DI đều dài 1 m, nên diện tích tam giác là S₃ = ½.

Bước cuối cùng là cộng trừ các kết quả: S = S₁ + S₂ − S₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².