Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica, detta anche circonferenza unitaria, è una comune circonferenza priva di unità di misura; più precisamente, il suo raggio è uguale a uno. Serve a rappresentare in modo chiaro le definizioni delle singole funzioni goniometriche.

Che cos’è la circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio uno, il cui centro si trova nell’origine del sistema di riferimento, cioè nel punto (0; 0). Guarda la figura seguente:

La circonferenza è inoltre divisa in quattro parti, che chiamiamo quadranti. In alto a destra c’è il primo quadrante, in alto a sinistra il secondo, in basso a sinistra il terzo e in basso a destra il quarto. Poiché useremo questa circonferenza per rappresentare gli angoli, sulla circonferenza sono evidenziati i gradi. Nel punto che corrisponde a zero gradi di solito comincia il lato dell’angolo, che poi ruota in senso antiorario. Per questo al punto (0; 1) corrisponde l’angolo retto.

Definizione di seno e coseno sulla circonferenza

Sulla circonferenza goniometrica si possono rappresentare molto bene le singole funzioni goniometriche. Prima riportiamo sulla circonferenza un angolo e poi vediamo dove si possono leggere i valori delle singole funzioni.

Abbiamo riportato sulla circonferenza l’angolo AOB (in rosso). Questo angolo lo abbiamo chiamato alfa. I lati dell’angolo intersecano la circonferenza in due punti: A e B. Per noi sarà importante il punto B. Se dal punto B tracciamo la retta parallela all’asse x (nella figura è la linea orizzontale tratteggiata), questa retta interseca l’asse y in un solo punto. Chiamiamo questo punto P_s. Vale allora che la lunghezza del segmento OP_s (il segmento verde) è uguale al seno dell’angolo alfa.

Poiché lavoriamo sulla circonferenza goniometrica, che ha il centro nell’origine del sistema di riferimento, la lunghezza del segmento OP_s (il segmento verde) è uguale all’ordinata del punto P_s, che è uguale all’ordinata del punto B.

Sulla stessa circonferenza possiamo leggere anche il coseno. Tracciamo allora la retta parallela all’asse y passante per il punto B. Questa retta interseca l’asse x in un punto che chiamiamo P_c. La lunghezza del segmento OP_c è allora uguale al coseno dell’angolo alfa. Anche qui possiamo dire che questo valore è uguale all’ascissa dei punti B e P_c.

Definizione di tangente e cotangente

Come sulla circonferenza goniometrica abbiamo definito seno e coseno, qui possiamo definire tangente e cotangente. Per chiarezza mostriamo prima dove si trova la tangente sulla circonferenza goniometrica. Ci servirà un’altra retta: la retta parallela all’asse y che passa per il punto A, cioè per il punto (1; 0). Nella figura seguente è la retta blu:

Questa retta interseca la semiretta (il lato dell’angolo) OB in un punto, che chiamiamo P_t. La lunghezza del segmento AP_t è allora uguale alla tangente dell’angolo alfa. Anche qui basta prendere l’ordinata del punto P_t per ottenere la tangente dell’angolo alfa.

Per rappresentare la cotangente sulla circonferenza goniometrica ci serve ancora un’altra retta. Questa volta si tratta della retta che passa per il punto (0; 1) ed è parallela all’asse x. Anche questa è evidenziata in blu:

Questa retta interseca la semiretta (il lato dell’angolo) OB in un punto, che chiamiamo P_k. La lunghezza del segmento CP_k è allora uguale alla cotangente dell’angolo alfa. Come sempre possiamo prendere soltanto l’ascissa del punto P_k e otteniamo la cotangente dell’angolo.

La domanda è che cosa succede se l’angolo alfa è maggiore di 90 gradi per la tangente e maggiore di 180 gradi per la cotangente, perché in questi casi la retta non interseca il lato dell’angolo, come mostra la figura seguente:

A questo punto trasformiamo la semiretta OB in una retta, e questa retta interseca la retta p.

Per la tangente procederemmo in modo analogo.

Quando tangente e cotangente non sono definite

Sulla circonferenza goniometrica possiamo notare una cosa interessante. Se l’angolo alfa è uguale a 180 gradi, la retta p e il lato dell’angolo non si intersecano mai, perché sono paralleli. Come rimediare a questo problema? In nessun modo: la cotangente di 180 gradi non è definita. Allo stesso modo non è definita la tangente di 90 gradi, perché un tale lato sarà parallelo all’asse y e quindi anche alla retta con cui dovrebbe intersecarsi. La figura seguente lo mostra almeno per la cotangente.