이항분포 계산기

문제가 다섯 개인 시험을 본다. 문제마다 보기가 네 개 있는데, 공부를 전혀 하지 않아서 답을 찍을 수밖에 없다. 두 문제만 맞힐 확률은 얼마일까? 이럴 때 쓰는 것이 이항분포이다. 성공할 확률이 p인 독립시행을 n번 할 때 k번 성공할 확률을 구한다.

확률 p는 퍼센트로 입력한다. 분수도 입력할 수 있어서 4분의 1은 25나 100/4로, 3분의 1은 100/3으로 쓸 수 있다.

계산 방법

계산기는 다음 공식으로 계산한다.

$$P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

정해진 두 문제를 맞히고 나머지 세 문제를 틀릴 확률은 ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{1024}$이다. 그런데 맞힌 두 문제가 다섯 문제 가운데 어디에 있을지는 {}₅C₂ = 10가지이므로, 이 확률에 10을 곱한다.

$$P(X=2)={}_5{\mathrm{C}}_2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\fallingdotseq 0.2637$$

찍어서 다섯 문제 가운데 두 문제만 맞힐 확률은 약 26.37%이다. “적어도 한 번”이 궁금하다면 적어도 한 번 일어날 확률 계산기가 더 빠르다. “적어도 세 번”처럼 여러 경우를 합할 때는 성공이 세 번, 네 번, 다섯 번일 때의 결과를 더하면 된다. 그 방법은 이항분포를 다룬 글에 나온다.